Контролно за определяне на отбора за международната олимпиада по математика, Испания 2008

от Българският сайт за математика

Направо към: навигация, търсене

Съдържание

[редактиране] Министерство на образованието и науката

Американска Фондация за България

[редактиране] Контролно за определяне на отбора за международната олимпиада по математика, Испания 2008

задачи са предоставени от дмн Петър Бойваленков

[редактиране] Първи ден

вторник, 27 май 2008, ИМИ-БАН


Задача 1. Нека n е естествено число. В едно от полетата на таблица n x n е разположена пешка. Пешката има право на всеки ход да се придвижи на произволно поле на k-тия стълб, k \in {1, 2,..., n} в произволно поне на k-тия ред. Да се докаже, че е възможно с поредица от n^2 хода на пешката да посети всички полета на таблицата, завършвайки поредицата в изходното поле.


Задача 2. Нека P е точка от вътрешността или контура на \Delta ABC. Означаваме с d_a, d_b и d_c разстоянията от P до страните BC, CA и AB. Да се докаже, че 

                         max{(AP, BP, CP)} \ge \sqrt{{d_a}^2 + {d_b}^2 + {d_c}^2} .

Кога се достига равенство?


Задача 3. Нека R^+ е множеството на положителните реални числа. Да се намерят всички реални числа a, за които съществува функция f: R^+ \to R^+, такава, че 3f^2(x) = 2f(f(x)) + ax^4 за всяко x > 0.


Време за работа: 4 часа и 30 минути

Националната комисия ви пожелава успех!

[редактиране] Втори ден

сряда, 28 май 2008, ИМИ-БАН


Задача 4. За всяко естествено число n означаваме с a_n първата цифра на 2^n. Рационално ли е числото 0,a_1a_2a_3....?


Задача 5. В \Delta ABC са прекарани медианата AM, M \in BC и височините CC_1, C_1 \in AB и BB_1, B_1 \in AC. Правата през A, перпендикулярна на AM пресича правите BB_1 и CC_1 съответно в точките E и F. Означаваме с k описаната около \Delta EFM окръжност. Нека k_1 и k_2 са окръжности, допиращи се до EF и до дъгата EF от k, не съдържаща M. Ако P и Q са пресечните точки на k_1 и k_2, да се докаже, че точките P, Q и M лежат на една права.


Задача 6. Даден е ориентиран граф G с безбройно много върхове. Известно е, че за всеки връх броят на изходящите ребра е по-голям от броя на входящите ребра. Нека O е фиксиран връх на G. За произволно естествено число n с V_n означаваме броя на върховете, които могат да бъдат достигнати от O, минавайки по не повече от n ребра (самият връх O също се брои). Да се намери най-малката възможна стойност на V_n.


Време за работа: 4 часа и 30 минути

Националната комисия ви пожелава успех!

Взето от „http://matematika.bg/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE_%D0%B7%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D0%BD%D0%B5_%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D1%82%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0_%D0%B7%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B0_%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%B8%D0%B0%D0%B4%D0%B0_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%2C_%D0%98%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_2008“.