4 клас

от Българският сайт за математика

[редактиране] Задачи

1. Между две селища A и B на всеки километър има стълб с две табелки - на едната е написано разстоянието в километри до A, върху другата - до B.

забелязал, че общият сбор от цифрите на двете числа върху двете табелки винаги е 11. Намерете разстоянието между двете селища.

Решение: Върху табелките на два съседни стълба числата се променят по следния начин - едното се увеличава с единица, а другото се намалява с единица, т.е. когато последната цифра не е 0 или 9, общият сбор на цифрите на двете числа не се променя. На табелката, на която числата растат, при преход от 9 към 0 (например от 9 към 10, или от 19 към 20) сборът на цифрите се намалява с 8, а на табелката на която числата намаляват, сборът на цифрите се увеличава с 8 при преход от нула към 9. Следователно, за да не се изменя общият сбор на цифрите, преходът от последната цифра 9 към 0, при нарастващите числа, и от 0 към 9, при намаляващите трябва да се извършва едновременно. Това означава, че сборът на последните две цифри на числата, написани на един стълб, трябва да е 9. Следователно разстоянието между двете селища е 29.

2. Една правоъгълна дъска е разделена на квадратчета, всяко от които има страна 1 см. Разполагаме още с достатъчно много плочки от вида, показан на картинката, всяка от които се сътои от 3 квадратчета със страна 1 см. Възможно ли е дъската да се покрие с плочки от дадения вид, които не се застъпват и не стърчат извън нея, ако размерите на дъската са:

а) 3 см на 100 см; б) 3 см на 101 см.

Решение: а) Може. Ясно е, че дъска с размери 3 см на 2 см може да се покрие с плочки от дадения вид. Дъската с размери 3 см на 100 см разделяме на 50 дъски с размери 3 см на 2 см и покриваме всяка от тях.

б) Не може. Ако дъската има 3 ред и 101 стълба, за покриване на квадратчето в горния ляв ъгъл има три възможности, показани на чартежа.

В случая c) не е възможно да се покрие квадратчето в долния ляв ъгъл на дъската. Затова остават само възможностите от случаите a) и b). И в двата случая, долният ляв ъгъл може да се покрие по един единствен начин, като така покриваме част от дъската, състояща се от трите реда и два стълба. Като продължаваме по същия начин, заключаваме, че с дадените плочки може да покрием правоъгълна дъскас три реда сам когато стълбовете са четно число.

3. Колко най-малко ЪГЪЛа има в КРЪГ? Отговорът е най-малкото естествено число n, за което е в сила равенството n.ЪГЪЛ = КРЪГ, където на еднаквите букви отговарят еднакви цифри, а различните - различни цифри.

Решение: Ясно е, че на буквата Ъ отговаря цифра, различна от нула. Лесно се вижда, че при сборът на n пъти Ъ с добавен възможен пренос от сбора на цифрите Л на единиците, не може отново да завършва на Ъ. За да се получи в произведението цифра на десетиците 1, трябва да имаме от единиците пренос 9, т.е. Л = 9. Тогава Г = 4, откъдето Р = 5 и К = 8, т.е. 6.1419 = 8514.

Нека n = 7. Отново Ъ = 1. За Л имаме две възможности (поради необходимия пренос 4): Л = 6 и Л = 7. Нека Л = 6. Тогава Г = 2, Р = 5 и К = 8, т.е. 7.1216 = 8512. Лесно се вижда, че при Л = 7 ребусът няма решение.

Нека n = 8. Отново Ъ = 1, като за Л имаме единствена възможност Л = 4. Тогава Г = 2, Р = 7, К = 9, т.е. 8.1214 = 9712.

Нека n = 9. Тогава Ъ = 1 и Л = 3. Тогава Г = 7 и ребусът не може да има решение, защото се получава петцифрено произведение. Следователно n = 6, 7, 8.

4. Кристофър Робин и Мечо Пух се намират в подножието на планина, на върха на която са запасите на пчелите от мед. Медът не се охранява, но до него се намират два кратера на вулкан. До върха на планината се стига като се върви най-напред 4 часа шосе, а след това - още 4 часа по стръмна пътека. Първият кратер изхвърля лава 1 час, след това 17 часа "почива", отново изхвърля лава 1 час и т.н. Вторият кратер 1 час изхвръля лава, после "почива" 9 часа, отново изхвърля лава и т.н. Когато първият кратер изхвръля лава, е опасно да се върви както по шосето, така и по пътеката, а когато вторият кратер изхвръля лава е опасно да се върви само по пътеката.

Кристофър Робин забелязал, че на 7 февруари в 12 часа по обяд двата кратера започнали да изхвърлят лава едновременно. Могат ли да стигнат двамата герои ди запасите с мед, без риск за живота си на коя дата и в колко часа най-рано трябва да тръгнат, за да се върнат невредими?

Решение: Ясно е, че за да се стигне до върха, са необходими 16 часа, като през това време не трябва да изригва първият вулкан. Освен това през този период са необходими 8 часа за изкачване и слизане по пътеката, през което време трябва да "почива" вторият вулкан. Ако отчитаме от края на първия час (когато двата вулкана спират изригването), получаваме следното "разписание" на вулканите (с "-" е отбелязан периодът на почивка, а с "x" - изригването).

Първият вулкан: 1 - 18 x 19 - 36 x 37 - 54 x 55
Вторият вулкан: 1 - 10 x 11 - 20 x 21 - 30 x 31 - 40 x 41 - 50 x 51

От "разписанието" се вижд, че най-рано може да се тръгне 37 часа след края на първото изригване. Следователно нашите герои трябва да тръгнат 38 часа след началото на първото изригване, т.е. в 2 часа през нощта на 9 февруари.