5 клас
от Българският сайт за математика
1. Владко отворил касичката си, в която бил пуснал само монети от 10лв., 20лв. и 50лв. той пресметнал, че в нея имало 3240лв. Владко забелязал, че монетите от 20лв. били колкото останалите монети, а след като при всяка монета от 10лв. той поставил по две монети от 20лв. му останали непоставени монети от 20лв. на стойност, равна на стойността на монетите от 10лв. По колко монети от всеки вид е имало в касичката?
Решение: Ясно е, че броят на монетите от 10лв. е два пъти по-голям от непоставените монети от 20лв. Това ни дава основание да съставим няколко еднакви групи от монети: 2 по 10лв., 5 по 20лв. и 3 по 50лв. Общата стойност на монетите във всяка група е 2.10 + 5.20 + 3.50 = 270лв. Следователно броят на групите е 3240 : 270 = 12, т.е. имало е 2.12 = 24 монети от 10лв., 5.12 = 60 монети от 20лв. и 3.12 = 36 монети от 50лв.
2. Числата 1, 2, 3,...,1997, 1998 са записани последователно в редица. Разрешава се да се зачеркнат няколко последователно записани числа от редицата, като на тяхно място се записва броят на зачеркнатите числа. (Например, ако зачеркнем числата 3, 4, 5 и 6 ще получим редицата 1, 2, 4, 7,..., 1997, 1998, ако след това зачеркнем петте числа 2, 4, 7, 8 и 9, ще получим редицата 1, 5, 10, 11,..., 1997, 1998). Може ли, при някаква поредица от такива зачерквания, да се достигне до редицата от две числа - 999, 1000?
Решение: Не е възможно да се получи тази редица. Числото 1000 може да бъде получено по два начина.
1) Ако това си е първоначално записаното число 1000, но тогава числата след него трябва да са зачеркнати, а след него няма записано число - брой на зачеркнатите числа.
2) Ако са зачеркнати 1000 числа. Но както и да се зачеркнат 1000 числа, ще бъде зачеркнато и числото 999 и ще останат по-малко от 999 числа в редицата, т.е. числото 999 няма как да се появи.
3. Покажете, че както и да се изберат 501 различни нечетни числа, по-малки от 1996, то сборът на някои две от тях е равен на 1998.
Решение: Да разгледаме разликите на 1998 с избраните 501 различни нечетни числа. Те също са 501 различни нечетни числа. Тъй като броят на нечетните числа, по-малко от 1996, е 998, а общият брой на избраните числа и разликите е 1002, имаме поне 4 равни числа. Единствената възможност е някоя от разликите да е равна на някое първоначално избрано число. Като отхвърлим разликите 1998 - 1 = 1997 и 1998 - 999 = 999 получаваме, че има поне още една разлика от вида 1998-a, равна на някое от първоначално избраните числа b, т.е. 1998 - a = b. Следователно a + b = 1998.