6 клас

от Българският сайт за математика

1. Да се намерят всички естествени числа a и b, за които числата са едновременно естествени. Има ли естествени числа a и b, за които и трите числа и 4z са едновременно естествени?

Решение: Забелязваме, че xyz = 1. Следователно x, y, z са естествени числа само когато x = y = z = 1, т.е. 2a + b = 3b + 2 = 8, откъдето b = 2 и a = 3. Понеже , числата и 4z не могат да бъдат едновременно естествени числа за никои естествени a и b.

2. Даден е четириъгълника ABCD. Да се намери такава точка M, че лицето на триъгълника ABM да е равно на лицето на четириъгълника ABCD.

Решение:

През върха D на дадения четириъгълник да построим права p, успоредна на диагонала му AC. Да означим с M пресечната точка на p и правата BC. Ще покажем, че M удовлетворява нужното условие. Фигурата ACMD е трапец. Следователно триъгълниците ACM и ACD имат равни лица. Ако N е пресечната точка на диагоналите на трапеца, равни лица имат също триъгълниците AND и CNM. От четириъгълника ABCD се получава , като се изреже и се замени с равнолицевия му . Ето защо и четириъгълника ABCD имат равни лица.

3. Кое е това естествено число, което има точно четири делителя естествени числа, включително 1 и самото себе си, и сборът на тези делители е с 2000 по-голям от самото число?

Решение: Нека числото има само един прост делител - p. Тогава неговите делители са 1, p, p.p, p.p.p, като самото число е p.p.p. Така получваме, че 1 + p + p.p + p.p.p = p.p.p + 2000 или 1 + p + p.p = 2000. Но числото p.p + p е четно и значи такава възможност не съществува.

Нека числото има два прости делителя - p и q. Тогава неговите делители са 1, p, q, p.q и 1 + p + q + p.q = p.q + 2000 или p+q = 1999. Но тъй като сборът p+q е нечетно число, то едно от числата p и q трябва да е четно, а другото нечетно. Единственото просто четно число е 2. Тогава едното число е 2, а другото 1997. Числото 1997 е просто. Следователно единственото число с разглежданото свойство е числото p.q = 2.1997 = 3994.

4. Една правоъгълна дъска е разделена на квадратчета, всяко от които има страна 1 см. Разполагаме още с достатъчно много плочки от вида, показан на картинката, всяко от които се състои от 3 квадратчета със страна 1 см. Да се докаже, че дъска с размери m см и n см, където m > 3 и n > 3 са естествени числа, може да се покрие с плочки от дадения вид, които не се застъпват и не стърчат извън нея, ако:

а) m = 5 и n = 6; б) m = 5 и n = 9; в) m.n се дели на 3.

Решение: Ясно е, че дъска с размери 3 см на 2 см може да се покрие с плочки от дадения вид.

а) Дъска с размери 5см на 6 см може да се раздели на дъски с размери 3 см на 2 см.

б) Дъска с размери 5 см на 9 см може да се раздели на пет дъски с размери 3см на 2 см, а останалата част също се покрива с плочки от дадения вид.

в) Ако m.n се дели на 3, поне едно от числата m и n се дели на 3. Нека n се дели на 3 и на дъската има m реда и n стълба. Ако m = 2, дъската може да се покрие с дадените плочки, защото тя може да се раздели на дъски с 2 реда и 3 стълба. Ако m = 5, дъската също може да се покрие с дадените плочки. Наистина, ако n е четно, то n се дели на 6 и такава дъска може да се раздели на дъски с 5 реда и 6 стълба. Ако n е нечетно, то n не е по-малко от 9 и дъската може да се раздели на една дъска с 5 реда и 9 стълба и няколко дъски с 5 реда и 6 стълба.

Нека сега m е четно число. Тогава дъската с m реда и n стълба може да се раздели на дъски с два реда и n стълба и следователно тя може да се покрие с дадените плочки. Ако m е нечетно, то m е не по-малко от 5. Тогава дъската може да се раздели на една дъска с 5 реда и n стълба и няколко дъски с 2 реда и n стълба и следователно също може да се покрие с дадените плочки.