7 клас

от Българският сайт за математика

1. Влак тръгва от Видин в 6 часа и 20 минути и пристига в София в 11 часа и 50 минути. Друг влак от София тръгва в 4 часа и 5 минути и пристига във Видин в 9 часа и 50 минути. В колко часа двата влака са се разминали?

Решение: Влакът Видин - София се движи 5ч. и 30мин., а влакът София - Видин - съответно 5ч. и 45мин. Нека S е разстоянието Видин - София. Тогава скоростта на първия влак е $\frac{S}{5,5} = \frac{2S}{11}$ , а на втория - съответно $\frac{4S}{23}$ . Ако t е часът на срещата, ще имаме $\left( t - 4\frac{5}{60}\right) \frac{4S}{23} + \left( t - 6\frac{20}{60} \right) \frac{2S}{11} = S$ , откъдето за t получаваме $t = \frac{724}{90}$ и тъй като $\frac{724}{90} = 8 + \frac{4}{90} = 8 + \frac{2}{60} + \frac{40}{3600}$ , то разминаването е станало в 8ч. 2мин. и 40сек.

2. Да се намери просто число N, което има вида $N = a^4 + b^4 + c^4 - 3$ , където a, b и c са също прости числа.

Решение: Докажете, че a, b и c могат да бъдат само 2, 3 и 5.

3. Да се пресметне сборът $S = 1 - \frac{1}{2!} - \frac{2}{3!} - \frac{3}{4!} - ... - \frac{1997}{1998!}$ (по дефиниция n! = 1.2.3...(n-1)n за всяко естествено число n).

Решение: Всяко събираемо след първото може да се запише във вида $\frac{1-k}{k!} = \frac{1}{k!} - \frac{k}{k!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k-1)!}$ , откъдето k = 2, 3, 4,..., 1998. Така получаваме, че $S = 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{1997!} - \frac{1}{1996!} + \frac{1}{1998!} - \frac{1}{1997!} = \frac{1}{1998!}.$

4. През един ден всеки от 9 приятели е ходил точно 4 пъти в кварталната сладкарница и е консумирал нещо на място. Известно е, че всеки двама от приятелите известно време през този ден са били заедно в сладкарницата. Да се докаже, че в някакъв момент от време в сладкарницата е имало поне трима от приятелите.

Решение: Да допуснем противното, т.е. че във всеки интервал от време в сладкарницата са били най-много двама от приятелите. Нека $t_1$ е времето, през което първите двама са били в сладкарницата; $t_2$ е времето, през което следващите двама са били в сладкарницата, и т.н. $t_n$ е времето, през което последните двама са били в сладкарницата. Ясно е, че началото на интервала от време $t_2$ е след края на интервала $t_1$ (защото по всяко време в сладкарницата е имало най-много двама приятели). Същото може да се каже и за всеки два последователни интервала: началото на $t_{k+1}$ е след края на $t_k$ (k = 1, 2,..., n-1). Понеже всеки двама са се срещали в сладкарницата и от 9 приятели могат да образуват $\frac{9.8}{2} = 36$ двойки, то $n \ge 36$ . Освен това началото на всеки интервал $t_1, t_2,..., t_n$ поне един от приятелите е отивал към сладкарницата. Онзи от тях, който е посетил сладкарницата най-рано, е отишъл там или преди началото на $t_1$ , или в началото на $t_1$ са отишли двама едновременно. Ето защо общият брой S на отиванията към сладкарницата е поне n+1, т.е. $S \ge 37$ . От друга страна S = 9.4 = 36 - противоречие.