VI клас

от Българският сайт за математика

Задача 1. Естествено число има следното свойство. Неговият квадрат и неговият куб общо съдържат по веднъж цифрите от $1$ до $8$ включително, без да се повтарят.

а) Да се провери, че търсеното число не може да е по-малко от $22$ и по-голямо от $31$ .

б) Да се намери числото.

Решение: а) Да означим търсеното число с $x$ . Ако $x \le 21$ , непосредствено се проверява, че $x^2$ и $x^3$ имат общо по-малко от $8$ цифри, а ако $x \ge 32$ , то $x^2$ и $x^3$ имат повече от $8$ цифри. Така $21 \le x \le 31$ .

б) Последната цифра $m$ на $x$ не е $0$ , защото $x^2$ (и $x^3$ ) ще завършват на $0$ . Също $m$ не може да е $9$ , защото $x^3$ ще завършва на $9$ . Ако $m = 3$ или $m = 7$ , то $x^2$ ще завършва на $9$ . Ако пък $m = 1, m = 5$ и $m = 6$ , то $x^2$ и $x^3$ ще завършват на една и съща цифра, което също е невъзможно. Останаха възможностите $m = 2 (x = 22), m = 4 (x = 24)$ и $m = 8 ( x = 28)$ . Пак с непросредствена проверка установяваме, че условието се удовлетворява само при $x = 24$ (тогава $x^2 = 576$ и $x^3 = 13824$ . Търсеното число е $24$ .

Задача 2. Във върховете на квадрат са написани числа: във върха $A$ - числото $1$ , във върха $B$ - числото $2$ , във върха $C$ - числото $3$ , във върха $D$ - числото $4$ . Към числата в два произволно взети съседни върха прибавяме едно и също число, също произволно избрано. Възможно ли е след няколко прибавяния числата да станат: във върха $A$ - числото $101$ , във върха $B$ - числото $103$ , във върха $C$ - числото $105$ , във върха $D$ - числото $107$ .

Решение: Не е възможно. Да означим с $M$ сбора от числата във върховете $A$ и $C$ , а с $P$ - сбора от числата във върховете $B$ и $D$ . В началото $M = 1 + 3 = 4, P = 2 + 4 = 6$ и $P - M = 6 - 4 = 2$ . Когато прибавим едно и също число $x$ към два произволно взети съседни върха, сборът $M$ става $4 + x$ , а сборът $P$ става $6 + x$ (защо?). Тогава тяхната разлика $P - M = (6 + x) - (4 + x) = 2$ се запазва. При следващото прибавяне на едно и също число разликата пак се запазва. За числата $101, 103, 105, 107$ тази разлика е $(103 + 107) - (101 + 105) = 210 - 206 = 4$ , различна от $2$ .

Задача 3. Да се докаже, че:

а) всички $27$ числа $n, 21 - n, n(21 - n)$ при $n = 2, 3,....,10$ са различни;

б) Ако $M$ е множеството от естествени числа, по-големи от $1$ и по-малки от $111$ и никое число от $M$ не е произведение на две различни числа от $M$ , тогава $M$ съдържа не повече от $100$ числа. Да се намери множеството $M$ с горните свойства и точно $100$ числа.

Решение: а) При $n = 2, 3,....,10$ имаме $n \le 10 < 11 \le 21 - n \le 19 < 38 \le n(21 - n)$ . Следователно всичките 18 числа $n, 21 - n$ при $n = 2, 3,....,10$ са различни помежду си и от всяко от числата $n(21 - n)$ . Лесно се проверява, че числата $n(21 - n)$ при $n = 2, 3,....,10$ са различни, защото $2(21 - 2) < 3(21 - 3) < .... < 9(21 - 9) < 10(21 - 10)$ .

б) От решението на а) се вижда, че $2 \le n(21 - n) \le 10(21 - 10) = 110$ при $n = 2, 3,....,10$ . Но във всяка от $9$ -те тройки $n, 21 - n, n(21 - n)$ при $n = 2, 3,....,10$ поне едно от числата не е от $M$ , тъй като никое число от $M$ не е произведение на две различни числа от $M$ . Следователно поне $9$ измежду числата $2, 3, ...., 110$ не са от $M$ и значи $M$ има не повече от $109 - 9 = 100$ числа. Множеството $M = (11,......,110)$ има исканите свойства, защото произведението на две различни числа от $M$ е по-голямо от $110$ .

Взето от „http://matematika.bg/wiki/VI_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81“.

VI клас

от Българският сайт за математика

Прегледи

Лични инструменти

Навигация

Търсене

Инструменти