V клас

от Българският сайт за математика

Задача 1. а) Колко време минава между две последователни съвпадения на часовата и минутната стрелка? б) Колко такива съвпадения има между 3ч. 10мин. и 17ч. и 15мин.?

Решение: а) За търсеното време - да го означим с $x$ часа - голямата стрелка е изминала $x$ оборота, а малката - $\frac{x}{12}$ и очевидно $x = \frac{x}{12} + 1$ . Следователно $x = \frac{12}{11}$ , т.е. търсеното време е $1\frac{1}{11}$ часа.

б) При $n$ -тото съвпадение след полунощ съгласно а) часът ще бъде $\frac{12}{11}n$ . Значи трябва да намерим за колко стойности на $n$ имаме $\frac{19}{6} < \frac{12}{11}n < \frac{69}{4}$ , т.е. $\frac{11.19}{6.12} < n < \frac{69.11}{4.12}$ . Тъй като $2 < \frac{11.19}{6.12} < 3$ и $15 < \frac{69.11}{4.12} < 16$ , неравенството е еквивалентно на $3 \le n \le 15$ . Следователно ще имаме $13$ съвпадения.

Задача 2. Да се докаже, че сумата $1 + 2 + ... + n$ :

а) е равна на $\frac{n(n + 1)}{2}$ ; б) не е просто число при $n > 2$ .

Решение: а) Като съберем двете равенства:

$S_n = 1 + 2 + .... + (n - 1) + n$

и $S_n = n + (n - 1) + .... + 2 + 1$ ,

получаваме

$2S_n = (n + 1) + (n + 1) + .... + (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1)$ , т.е. $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$ .

б) Нека $n$ е четно число. Числото $S_n$ е произведение на целите числа $\frac{n}{2}$ и $n + 1$ , които са по-големи от $1$ , понеже $n > 2$ . Ако $n$ е нечетно, числото $S_n$ е произведение на целите числа $n$ и $\frac{n + 1}{2}$ , които са по-големи от $1$ , понеже $n > 2$ . Следователно $S_n$ не е просто число.

Задача 3. Да се докаже, че:

а)има маршрут на топа, началото и края на който съвпадат и който минава през всяко поле на шахматната дъска точно по веднъж;

б) ако от шахматната дъска се изрежат две полета с различен цвят, останалата част може да се покрие без застъпване с плочки от домино (всяко от които покрива точно две полета с обща страна), но ако изрязаните полета имат един и същи цвят, това е невъзможно.

Решение: а) Такъв маршрут е показан на картинката.

б) Ако топът се движи по маршрута от черното до бялото изрязани полет в коя да е посока (две посоки са възможните, когато двете изрязани полета не са последователни в маршрута) по пътя си, ще премине през четен брой полета между тях (понеже изрязаните полета имат различни цветове. По такъв начин целият маршрут извън изрязаните полета ще се покрие с плочки. Ако двете изрязани полета имат един и същ цвят, тогава броят на иставащите черни и бели полета е различен и следователно такова покриване е такова покриване е невъзможно.

Взето от „http://matematika.bg/wiki/V_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81“.

V клас

от Българският сайт за математика

Прегледи

Лични инструменти

Навигация

Търсене

Инструменти