Да се докаже, че трапецът е равнобедрен

[waVe]

Даден е трапец ABCD.Голямата основа AB е диаметър на окръжност, която се допира до основата CD и пресича бедрата AD и BC съответно в точки L и M, като BM:MC=AL:LD=k.
a) Да се докаже, че трапецът е равнобедрен;
б) Ако [tex]\varphi[/tex]=[tex]\angle[/tex]BAD, да се изрази cos2[tex]\varphi[/tex] като функция на k.

За а) ясно, ама за б) ...

[martin123456]

само упътване
нека DC=2x, AB=2R.
[tex]AL=2R\cos{\varphi}[/tex], [tex]x^2=DL.LA[/tex]=>[tex]AL=2R\cos\varphi[/tex], [tex]DL=\frac{x^2}{2R\cos(\varphi)}[/tex]. използваме отношението им и получаваме [tex]x=\frac{2R\cos{\varphi}}{\sqrt{k}}[/tex]. значи [tex]AL+LD=2R\cos{\varphi}(\frac{k+1}{k})[/tex].
спускаме височината от D към основата. [tex]AH=R-x=R-\frac{2R\cos{\varphi}}{\sqrt{k}}[/tex]. [tex]\cos{\varphi}=\frac{R-\frac{2R\cos{\varphi}}{\sqrt{k}}}{2R\cos{\varphi}(\frac{k+1}{k})}[/tex]. оттук следва [tex]\cos{\varphi}[/tex] като фунцкия на k.

[ganka simeonova]

само упътване
нека DC=2x, AB=2R.
[tex]AL=2R\cos{\varphi}[/tex], [tex]x^2=DL.LA[/tex]=>[tex]AL=2R\cos\varphi[/tex], [tex]DL=\frac{x^2}{2R\cos\varphi}[/tex]. използваме отношението им и получаваме [tex]x=\frac{2R\cos{\varphi}}{\sqrt{k}}[/tex]. значи [tex]AL+LD=2R\cos{\varphi}(\frac{k+1}{k})[/tex].
спускаме височината от D към основата. [tex]AH=R-x=R-\frac{2R\cos{\varphi}}{\sqrt{k}}[/tex]. [tex]\cos{\varphi}=\frac{R-\frac{2R\cos{\varphi}}{\sqrt{k}}}{2R\cos{\varphi}(\frac{k+1}{k})}[/tex]. оттук следва [tex]\cos{\varphi}[/tex] като фунцкия на k.

1) Трябва да се изрази кос на удвоения ъгъл.
2) В изразяването трябва да участва само к, но не и R.

[ganka simeonova]

от подобието на [tex]\Delta AHD;\Delta ALB=>\frac{DH}{LB } =\frac{AD}{ AB} =>\frac{r}{LB } =\frac{(k+1)x}{ 2r}[/tex], нo
[tex]LB^2=4r^2-k^2x^2[/tex]=>[tex]\frac{2r^2}{(k+1)x} =\sqrt{4r^2-k^2x^2}[/tex](1)

[tex]\frac{2r^2}{(k+1)x} =r\sqrt{4-k^2\frac{x^2}{ r^2} }[/tex]; [tex]cos\varphi =\frac{AL}{LB} =\frac{kx}{2r }[/tex]

Да положим[tex]\frac{x}{r } =a[/tex]Следователно трябва да изразим а чрез к. Но от (1)=>
[tex]\frac{2}{(k+1)a } =\sqrt{4-k^2a^2}[/tex] , което вече не е трудно да се изрази чрез к.
После ползвай формулата [tex]cos2\varphi =2cos^2\varphi -1[/tex]

[martin123456]

ами то не участва R..

[waVe]

[tex]cos \varphi = \frac{kx}{2r}
sin \varphi = \frac{r}{x(1+k)}[/tex]
=> [tex]2sin \varphi cos \varphi = \frac{k}{1+k}[/tex] , как не съм го видял.. :\
благодарности за решенията все пак