BK:KE

[Anubis]

В [tex]\triangle ABC[/tex] медианата [tex]CD[/tex] пресича ъглополовящата [tex]BE[/tex] в точка [tex]K[/tex]. Да се намери

[tex]BK:KE[/tex], ако [tex]\angle BAC = \alpha, \, \angle ACB = \gamma[/tex].

[ganka simeonova]

[tex]\frac{sin\gamma +sin\alpha }{sin\alpha }[/tex]?

[Anubis]

Ами да, толкова е. Отдавна не бях успявал да реша задача на 3 - 4 реда.

[ganka simeonova]

Става на два реда само с едно допълнително построение. Построявам през А права, успоредна на ъглополовящата, докато пресече продължението на медианата в т.Р
Разглеждам две двойки триъгълници
1) еднаквите [tex]\Delta AFD;\Delta DKB[/tex]
2)подобните [tex]\Delta CEK;\Delta CAF[/tex]
3)свойство на ъглополовящата + син.т-ма

[pipi langstrump]

Може да се реши и с вектори, ако човек е свикнал с тях. Може би техническата част става малко по-тежка, но не се изискват нито допълнителни построения, нито много разсъждаване върху чертежа, нито много мислене.

ОзначаваМе [tex]EK/KB \equiv \lambda[/tex] . Имаме: [tex]\vec{CK} = \frac{\vec{CE} + \lambda\vec{CB} }{1+\lambda} = x\frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})[/tex]
Очевидно трябва да изразим по някакъв начин CA чрез CE. От свойството на ъгл. и син т-ма получаваме [tex]CA = CE(1 + \frac{sin \gamma }{sin \alpha })[/tex]
И остава да решим (наум) системката [tex]\frac{\lambda}{1+\lambda} = \frac{x}{2}, \frac{1}{1+\lambda } = \frac{x}{2}(1 + \frac{sin \gamma }{sin \alpha })[/tex], т.е. [tex]\lambda = \frac{1}{ 1 + \frac{sin \gamma }{sin \alpha }}[/tex]

Май излезе на 3реда

[ganka simeonova]

Пипи, решението с вектори го бива, но не мисля, че е по-лесно. Това доп. построение е съвсем рутинно при такъв тип задачи.

[Anubis]

Можеш да пробваш и така.

[tex]AT \cap BE \cap CD = K \Rightarrow \frac{AD}{DB}.\frac{BT}{TC}.\frac{CE}{EA} = 1 \Rightarrow \frac{BT}{TC} = \frac{EA}{CE} \Rightarrow ET || AB[/tex]

[tex]\triangle ABC \sim \triangle ETC \Rightarrow \frac{AB}{ET}=\frac{BC}{TC}=\frac{AC}{EC}[/tex]

[tex]\triangle ABK \sim \triangle TEK \Rightarrow \frac{AB}{TE} = \frac{BK}{EK} = \frac{AK}{TK}[/tex]

[tex]\frac{BK}{KE} = \frac{AB}{TE} = \frac{BC}{TC} = \frac{a+c}{a} = 1+\frac{c}{a} = 1+\frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha + \sin \gamma}{\sin \alpha}[/tex]

[pipi langstrump]

Пипи, решението с вектори го бива, но не мисля, че е по-лесно. Това доп. построение е съвсем рутинно при такъв тип задачи.

"съвсем рутинно" може да е за който има рутина.

[Гост]

Интересно защо никой не решава задачата с маси. Толкова ли е трудно или този метод е непознат в БГ?

[strangerforever]

Става на два реда само с едно допълнително построение. Построявам през А права, успоредна на ъглополовящата, докато пресече продължението на медианата в т.Р
Разглеждам две двойки триъгълници
1) еднаквите [tex]\Delta AFD;\Delta DKB[/tex]
2)подобните [tex]\Delta CEK;\Delta CAF[/tex]
3)свойство на ъглополовящата + син.т-ма

Може и вместо построението - Менелай.

[ganka simeonova]

Интересно защо никой не решава задачата с маси. Толкова ли е трудно или този метод е непознат в БГ?

Гост (предполагам, че знам кой си), ти един път ми пусна една такава задача с маси, но аз наистина не я зацепих
Ако напишеш решение, ще е супер:)