Ромб - лице по разстояние между 2 височини

[Гост]

През връх на тъп ъгъл на ромб са построени двете му височини. Разстоянията между петите им е b. Да се намери лицето на ромба, ако височината му е а.

[inveidar]

fff.png (17.3 KiB) Прегледано 1021 пъти

Докажи, че триъгълникът DHT е подобен на триъгълника DBC. След това използвай, че лицата на подобните триъгълници се отнасят както квадратите на съответните им страни. В случая - DB и НТ. Остава да намериш DB и лицето на DHT, а също така да се сетиш, че лицето на ромба е равно на два пъти лицето на DBC. Ако има въпроси - давай ги.

[Гост]

Как да намеря DB?

[Xixibg]

А за какво ти е да го намираш?

[inveidar]

Защото аз му казах да го намери. Що за тъп въпрос? Ако ти имаш друго решение - кажи му го.
BD можеш да намериш като използваш метрични зависимости в правоъгълни триъгълници. Утре ще ти го напиша цялото решение.

[inveidar]

fff.png (17.37 KiB) Прегледано 985 пъти

Нека BD пресича НТ в точка Q, а BD=d, BQ=x. От правоъгълния триъгълник HBD имаме
[tex]\frac{b^{2}}{4 }=x(d-x)[/tex](Височината към хипотенузата е средногеометрична на произведението на проекциите на катетите върху хипотенузата) и
[tex]a^{2}=(d-x)d[/tex] (Катетът е средно геометрично на проекцията си върху хипотенузата и хипотенузата).
Като разделим горните две равенства, получаваме

[tex]\frac{b^{2}}{4a^{2} }=\frac{x}{d } \Leftrightarrow x=\frac{b.d}{ 4a^{2}}[/tex] (1).

Ако пък съберем същите две равенства, получаваме

[tex]d^{2}-x^{2}=a^{2}+\frac{b^{2}}{4 }[/tex] (2).

Заместваме x от (1) в (2) и след опростяване получаваме [tex]d^{2}=\frac{4a^{4}}{4a^{2}-b^{2} } \Leftrightarrow d=\frac{2a^{2}}{\sqrt{4a^{2}-b^{2}} }[/tex] (3).

[tex]S_{DHT}=\frac{b\sqrt{4a^{2}-b^{2}} }{4 }[/tex] (4).

[tex]S_{BDC}=\frac{d^{2}}{b^{2} }.S_{DHT}[/tex] (5).

[tex]S_{ABCD}=2.S_{BDC}[/tex] (6).

Накрая, замествайки (3), (4) и (5) в (6), получаваме [tex]S_{ABCD}=\frac{2a^{4}}{b.\sqrt{4a^{2}-b^{2}} }[/tex].

[Xixibg]

[tex]\angle BAC=\angle CAD=\alpha[/tex]
[tex]=>\angle ADB=\angle ADB=90^\circ -\alpha[/tex]
[tex]=>\angle ADH=180^\circ -90^\circ -2\alpha =90^\circ -2\alpha[/tex]
[tex]=>\angle HDB=90^\circ -\alpha-90^\circ +2\alpha =\alpha[/tex]
[tex]sin \alpha =\frac{b}{2a} ; =>cos \alpha =\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2a}[/tex]
[tex]=>sin {2\alpha}=2sin \alpha.cos \alpha =\frac{b\sqrt{4a^2-b^2}}{2a^2}[/tex]
[tex]\frac{DH}{AD}=sin {2\alpha} ; =>AD=\frac{2a^3}{ b\sqrt{4a^2-b^2}}[/tex]
[tex]S_{ABCD}=AD.DT=\frac{2a^4}{ b\sqrt{4a^2-b^2}}[/tex]