Правоъгълен триъгълник, разделен на равнолицеви

[Red_General]

Даден е правоъгълен триъгълник АВС (ъгъл ACB = 90 градуса). В триъгълника е взета точка О такава, че триъгълниците ОАВ, ОВС и ОАС са равнолицеви. Намерете дължината на ОС, ако е известно, че ОА^2+ОВ^2=а^2 (а>0).

Не мога да я реша и ме вади извън нерви. Моля за помощ. Благодаря предварително!

[monika_at]

Единствената точка, вътрешна за триъгълник, която гo разделя на три равнолицеви триъгълника е медицентърът=>О- медицентър.
Означаваме катетите и хипотенузата съответно с [tex]x,y,z[/tex], а медианите към тях с [tex]m_a; m_b, m_c[/tex]

Питагорови теореми за: [tex]\Delta AA_1C=>m_a^2=\frac{x^2}{4 } +y^2[/tex]; [tex]\Delta
BB_1C=>m_b^2=\frac{y^2}{4 } +x^2[/tex]=>

[tex]m_a^2+m_b^2=\frac{5(x^2+y^2)}{4 } =\frac{5z^2}{4 } =5m_c^2=>AO^2+BO^2=\frac{4}{ 9}(m_a^2+m_b^2)=\frac{4.5}{ 9} m_c^2[/tex]

=>[tex]m_c^2=\frac{9a^2}{ 4.5} =>m_c=\frac{3a}{ 2\sqrt{5} } =>OC=\frac{2}{3 } m_c=\frac{a}{ \sqrt{5} } =\frac{a\sqrt{5} }{ 5}[/tex]

[Red_General]

Единствената точка, вътрешна за триъгълник, която гo разделя на три равнолицеви триъгълника е медицентърът=>О- медицентър.

Това не го знаех. Позабравил съм теорията. Имаме ли го като теорема или трябва да го доказваме?

[monika_at]

Аз го ползвам наготово. Опитай се да го докажеш