Лице на произволен триъгълник

[addicted]

Здравейте, наскоро срещнах едно твърдение, което не успях да докажа.То е следното:
Да се докаже, че лицето на произволен триъгълник в равнината се увеличава с цяло число, ако някоя от координатите на върховете му се промени с четно число.
Тук под промени се има предвид да се извади примерно ор координатата 2 или събере 2 (или друго четно число).
Благодаря предварително.

[Knowledge Greedy]

Както знаем ориентираното лице на триъгълника в декартова координатна система се дава с формулата
[tex]S=\begin{vmatrix}
x_{1} & y_{1} & 1\\
x_{2} & y_{2} & 1\\
x_{3} & y_{3} & 1
\end{vmatrix}[/tex],
където [tex]A(x_{1}, y_{1})[/tex], [tex]B(x_{2}, y_{2})[/tex],[tex]C(x_{3}, y_{3})[/tex] са върховете му.
Да променим триъгълника така [tex]A^{'}(x_{1}+2m, y_{1})[/tex]. И да пресметнем разликата
[tex]\Delta S=[/tex][tex]\begin{vmatrix}
x_{1}+2m & y_{1} & 1\\
x_{2} & y_{2} & 1\\
x_{3} & y_{3} & 1
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
x_{1} & y_{1} & 1\\
x_{2} & y_{2} & 1\\
x_{3} & y_{3} & 1
\end{vmatrix}[/tex]
Получаваме [tex]\Delta S=2m(y_{2}- y_{3})[/tex], от което става ясно, че въпросното твърдение не е вярно
........... Ако координатите са цели, или поне някои разлики да са цели кратни на [tex]\frac{1}{2}[/tex] - да, но ако е казано както в началото - не.

[Knowledge Greedy]

Формулата за лицето на триъгълник е
[tex]S=\frac{1}{2} \begin{vmatrix}<br />x_{1} & y_{1} & 1\\ <br />x_{2} & y_{2} & 1\\ <br />x_{3} & y_{3} & 1<br />\end{vmatrix}[/tex].
Изводите в задачата са по принцип същите - ако има две едноименни координати, различаващи се с цяло число - тогава може да се получи промяна на лицето с цяло число.