Лице на триъгълник

[Zarrie]

Намерете лицето на триъгълник ABC, ако BC = a, медианата през върха А е m и <) CAB = α

[Knowledge Greedy]

Да удвоим медианата [tex]AM[/tex] до точка [tex]D[/tex].

Лице на триъгълник Zarrie.PNG (5.38 KiB) Прегледано 1127 пъти

Ясно е, че лицето на [tex]\Delta ABC[/tex] е половината от лицето на успоредника [tex]ABDC[/tex].
[tex]S_{ABDC=AB.ACsin\alpha }[/tex]
Произведението [tex]AB.AC[/tex] се среща на две места.
От една страна в косинусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex] ,
а именно [tex]a^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cos\alpha[/tex].
От друга страна в косинусова теорема за [tex]\Delta ABD[/tex],
т.е. [tex]m^2=AB^2+BD^2+2AB.BD.cos\alpha[/tex] [tex](\ast)[/tex]
Изваждаме почленно двете равенства и изключваме квадратите на страните
[tex]a^2-m^2=4AB.AC.cos\alpha[/tex]
Изразяваме произведението [tex]AB.AC[/tex]
[tex]AB.AC=\frac{a^2-m^2}{4cos\alpha }[/tex]
Остава да умножим по [tex]sin\alpha[/tex] за да получим лицето на успоредника и да разделим на две, за да получим лицето на триъгълника:
[tex]S_{ABC}=\frac{1}{2} (a^2-m^2)tg\alpha[/tex]

------------------------------------
В равенството [tex](\ast)[/tex] [tex]cos\angle ABC=cos(180^\circ -\alpha)=-cos\alpha[/tex]
Също и [tex]BD=AC[/tex] от свойството на успоредника - пак там.
------------------------------------

[Knowledge Greedy]

Zarrie, преди да направя заключението на това решение, моля те да решиш следните частни случаи на твоята задача.

Намерете лицето на триъгълник [tex]\Delta ABC[/tex], ако:
а) [tex]a=3[/tex], [tex]m=\sqrt{3}[/tex] и [tex]\alpha =60^\circ;[/tex]
б) [tex]a=3[/tex], [tex]m=1[/tex] и [tex]\alpha =120^\circ;[/tex]
в) [tex]a=3[/tex], [tex]m=2[/tex] и [tex]\alpha =45^\circ,[/tex]
където дължината на [tex]BC = a[/tex], на медианата през върха [tex]A[/tex] е [tex]m[/tex]
и мярката на [tex]\angle CAB = \alpha[/tex].

[Zarrie]

Много благодаря за достъпния и подробен начин, по който сте обяснили задачата! Разбрах принципа за решаване, или поне така мисля.
Отговорите, които получих на задачите, които сте ми написали е:
а)s=[tex]\frac{3\sqrt{3} }{ 8}[/tex]
б)s=[tex]\frac{5\sqrt{3} }{ 8}[/tex]
в)s=[tex]\frac{7 }{ 8}[/tex]

[nsko]

Здравейте, да ви питам за решението на една проста задачка.
Равнобедрен триъгълник с основа a = 11см и ъгъл при основата α = 30°. Да се намери лицето на триъгълника.

[MENKA]

h/(a/2)=tg 30 гр /височината към основата е и медиана,и ъглополовяща в равноб. т-к/
Намирате h
s=(a*h)/2