Фигура с максимално лице

[Добромир Глухаров]

Коя равнинна фигура има при даден периметър (например равен на единица) максимално лице?

Знам, че отговорът е елементарен, но в задачата се иска и доказателство. Аз имам едно (малко дълго), но ми се иска да видя какво мислите Вие.

[Nathi123]

Например нека са дадени правоъгълници с периметър 1 ,кой от тях има максимално лице? Това е квадрат със страна [tex]\frac{1}{4}[/tex] . Това може да се обоснове например така: P=2(a+b)=1 ,където а и b са страните на един такъв правоъгълник.Тогава a= [tex]\frac{1}{2}[/tex]-b. S=ab = ([tex]\frac{1}{2}-b)[/tex].b. От неравенството между средно аритметично и средно геометрично следва,че [tex]\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}[/tex], т.е.a.b[tex]\le\frac{(a+b)^{2}}{4}[/tex].Следователно [tex]S^{2}\le\frac{1}{16}[/tex],като равенство се достига тогава и само тогава,когато a = b =[tex]\frac{1}{4}[/tex].

[math10.com]

Предходния пост е абсолютно безмислен.В дадената задача се иска да докажем , че измежду всички [tex]n-[/tex] ъгълници с даден периметър(в тази задача е Р=1), с най-голямо лице е правилния [tex]n-[/tex] ъгълник.След това пускаме [tex]n[/tex] да клони към безкрайност и израждаме многоъгълника в окръжност.Дължината и е [tex]P=2\pi r=1[/tex] от където намираме последователно [tex]r=\frac{1}{2\pi}[/tex] и [tex]S=\frac{1}{4\pi}[/tex]

[inveidar]

Горният пост също не дава отговор на въпроса, защото равнинните фигури не е задължително да са многоъгълници, нали? Не е коректно да се започне с многоъгълници!

[math10.com]

Че пота не дава отговор на въпроса съм напълно съгласен , но с другото не.Всяка гладка крива линия (в частност за задачата равнинна фигура), може да се представи като начупена линия(многоъгълник) с безкрайно малка дължина на сраните.Така че ако използваме теорията за изглаждане на начупена линия то може спокойно да говорим за многоъгълници.

[Добромир Глухаров]

Благодаря за мненията. В доказателството, което аз имам, се разглеждат фигури с произволен контур - гладка или начупена линия. Доказва се, че контурът на фигурата с максимално лице трябва да притежава свойството на окръжността - всеки вписан ъгъл, опиращ се на диаметъра, е прав.

[Nathi123]

От начина на задаване на задачата не е ясно ,че измежду всички равнинни фигури с периметър 1 се търси тази,която има максимално лице. Разглеждането на всички n - ъгълници също е частен случай.

[math10.com]

Нека е дадена криволинейната равнинна фигура [tex]\lambda[/tex] с дължина [tex]l[/tex].Поставяме върху [tex]\lambda[/tex] точките [tex]X_1,X_2,....X_n[/tex] по такъв начин , че отсечките [tex]X_1X_2=X_2X_3=......=X_{n-1}X_n=X_nX_1=\Delta x[/tex],където [tex]n\rightarrow \infty ,\Delta x \rightarrow \frac{l}{n}[/tex].Ако разгледаме многоъгълника [tex]X_1X_2X_3.....X_n[/tex] то в граничен преход при [tex]n\rightarrow \infty[/tex] той описва приблизително фигура [tex]\lambda[/tex].
След това пояснение вече спокойно може да разглеждаме [tex]n-[/tex]ъгълници.
А как се доказва, че измежду всички [tex]n-[/tex]ъгълници с еднакъв периметър с най-голямо лице е правилният е трудната част от задачата.
Това е пояснение по повод коментара на inveidar и на Nathi123

[inveidar]

Че пота не дава отговор на въпроса съм напълно съгласен , но с другото не.Всяка гладка крива линия (в частност за задачата равнинна фигура), може да се представи като начупена линия(многоъгълник) с безкрайно малка дължина на сраните.Така че ако използваме теорията за изглаждане на начупена линия то може спокойно да говорим за многоъгълници.

Е как да не си съгласен с другото? Първо трябваше да започнеш с кривите и многоъгълниците, пък после да разправяш за правилните многоъгълници. Ако си си го мислил(в което се съмнявам), то трябваше да го напишеш. Поста ти е некоректен. Тя и Нати може да каже, че това, което ти казваш и тя си го е мислила!

[inveidar]

Да не говорим, че замествайки гладките затворени линии с многоъгълници ти получаваш обратното неравенство?!