Триъгълник с разполовено лице от диагонала на квадрата

[Knowledge Greedy]

Върху страните [tex]BC[/tex] и [tex]CD[/tex] на квадрата [tex]ABCD[/tex] са избрани точки [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] така, че [tex]\angle MAN = 45^\circ[/tex]. Докажете, че диагоналът [tex]BD[/tex] на квадрата разделя лицето на триъгълника [tex]\Delta MAN[/tex] на две равни части.

[Davids]

Трябва да кажа, че ми се изпари мозъка на тазк задача. Усещам колко пикантно интересно ще е решението, за жалост обаче почнах много брутално да форсирам... Та, чакам решение наготово, та да се впия в него. А, и между другото, лека подсказка може и да помогне, ако не се обади никой с революционната идея скоро

[KOPMOPAH]

Доста добра задача. И аз зациклих. Единственото, което ми хрумна - на продължението на $BN$ да вдигна перпендикуляр към $BN$ през т. $C$ и да построя правоъгълен равнобедрен $\triangle APQ$... Там се получават едни равни ъгли и една изненадваща перпендикулярност, ама засега нищо повече

[Davids]

Аз на свой ред открих четири подобни триъгълника вътре в квадрата и още два, за които имам и коефициент на подобие, само че са ми супер безполезни засега. А идея нямам кой е правилният път към решението xD

[amsara]

Може ли още малко да не се пуска решение, та да се помъчат и други, виждащи задачата едва сега?

ПП Мисля, че успях. Отдавнa не съм писала във форума и съм загубила трениг с набирането в LaTex, затова ще го карам малко по-сбито.
Нека [tex]AM=m; AN=n => S_{AMN}=\frac{mn.sin45 ^\circ}{2}=\frac{mn\sqrt{2}}{4}[/tex]
Нека [tex]BD \cap AM =P; BD \cap AN=Q[/tex]
От [tex]\angle QAM = \angle QBM = 45 ^\circ =>[/tex] че около AQMB може да се опише окръжност.
[tex]=>\angle ABM +<AQM=180 ^\circ => <AQM =90 ^\circ =>\Delta AQM[/tex] е правоъгълен равнобедерен.
[tex]2x^2= m^2 => x=\frac{m\sqrt{2}}{2}[/tex], където [tex]AQ=QM=x[/tex]
Аналогично доказваме, че и около ADNP може да се опише окръжност.
[tex]=> <APN=90 ^\circ => \Delta APN[/tex] е правоъгълен равнобедрен.
[tex]=> 2y^2=n^2; y= \frac{n\sqrt{2}}{2}[/tex], където [tex]AP=PN=y[/tex]
[tex]S_{AQP}=\frac{xy.sin45}{2}=\frac{mn.\sqrt{2}}{8}[/tex]
[tex]S_{AQP}=\frac{S_{AMN}}{2}[/tex]
[tex]=>S_{AQP}=S_{QNMP}[/tex]

[S.B.]

Поздравления за колегата amsara!И аз успях да реша задачата малко по-различно.При означенията на amsara,като използвах,че отсечките NP и MQ се виждат под ъгъл 45 градуса ,доказах,че триъгълниците AMN и APQ са подобни с коефициент на подобие k=[tex]\sqrt{2}[/tex] /1,а от тук лицата им се отнасят тъй както 2 към 1.
Още веднъж аплодисменти за колегата!