Лица на многоъгълник

[Bellezza]

Здравейте! Много ще съм ви благодарна, ако ми помогнете в решаването на две задачи ..

Задача 1. Катетите на правоъгълен триъгълник са a и b. Страните му служат за страни на квадрати построени вън от триъгълника. Да се намери лицето на триъгълника с върхове центровете на тези квадрати.

Задача2. Да се намери лицето на тръгълник ABC ои дадени:
а) [tex]\alpha[/tex] , с и R
б) [tex]\alpha[/tex], а и r
в) [tex]\alpha[/tex], R и r



Благодаря ви, предварително ..

[martin123456]

2a)
[tex]S=\frac{bc}{2}\sin{\alpha}[/tex]. Търсим [tex]b[/tex]. от синусова т-ма [tex]\frac{a}{\sin{\alpha}}=2R[/tex] => [tex]a=2R\sin{\alpha}[/tex]. Прилагаме косинусова т-ма [tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos{\alpha}[/tex]=> [tex]b^2-2bc\cos{\alpha}+c^2-4R^2\sin^2{\alpha}=0[/tex]. Решаваме това у-ния като квадратно относно [tex]b[/tex]=>[tex]b[/tex] ирзазено с известни неща.
2б)
[tex]S=pr=\frac{a+b+c}{2}r[/tex]=> търсим [tex]b+c[/tex]. нека [tex]I[/tex] център вписана и [tex]IM \bot AB[/tex]. Разглеждаме [tex]\Delta AIM[/tex]: [tex]ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{p-a}{r}[/tex]=>[tex]b+c=2ctg\frac{\alpha}{2}+a[/tex]
2в)
от синусова т-ма намираме [tex]a=2R\sin{\alpha}[/tex]=>знаем [tex]\alpha, a, r[/tex], т.е. като предната подточка

[martin123456]

1
Нека квадратът на страната [tex]CB[/tex] има център [tex]O_a[/tex]. Аналогично и другите означения.
1) [tex]O_b, O_a, C[/tex] лежат на 1 права: [tex]\angle O_bCA+\angle ACB+\angle BCO_a=180^\circ[/tex].
2) [tex]O_cC \bot O_aO_b[/tex]: около [tex]ACBO_c[/tex] има окръжност, понеже [tex]\angle AO_cB+\angle ACB=90^\circ[/tex]=>[tex]\angle ACO_c=\angle ABO_c=45^\circ[/tex]=>[tex]\angle O_bCO_c=90^\circ[/tex].
Следователно търсенето лице е [tex]S_{O_aO_bO_c}=\frac{O_aO_b.CO_c}{2}[/tex].
Лесно намираме [tex]O_aO_b=O_bC+CO_a=\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}[/tex].
Чрез Птоломей намираме [tex]CO_c[/tex]: [tex]CO_c.\sqrt{a^2+b^2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}}.(a+b)[/tex].