Отсечка и отношение

[skidrow]

Даден е квадратът ABCD. През средата М на страната му АB е построена права, която пресича DC в т. N, DN < NC. В какво отношение тази права дели лицето на квадрата, ако [tex]\angle[/tex] АМН = ??

[Martin Nikovski]

Вероятно имаш предвид, че [tex]\angle AMN=\alpha[/tex]...
Построяваме [tex]NH \bot AB[/tex] ([tex]H\in AB[/tex]).
От правоъгълния [tex]\Delta HMN[/tex] имаме, че [tex]tg\angle HMN=\frac{NH}{MH }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]tg\alpha =\frac{a}{MH }[/tex] [tex]\Rightarrow MH=\frac{a}{tg \alpha }[/tex]
[tex]S_{\Delta HMN}=\frac{MH.NH}{2 } =\frac{\frac{a}{tg\alpha } .a}{2 }=\frac{a^2 }{2tg\alpha }[/tex]
[tex]AH=AM-MH=\frac{a}{2 }-\frac{a}{tg\alpha } =\frac{a\left(tg\alpha -2\right)}{2tg\alpha }[/tex]
[tex]AHND[/tex] - правоъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{AHND}=AH.NH=\frac{a\left(tg\alpha -2\right)}{2tg\alpha }.a=\frac{a^2\left(tg\alpha -2\right)}{2tg\alpha }[/tex]
[tex]S_{AMND}=S_{\Delta HMN}+S_{AHND}=\frac{a^2 }{2tg\alpha }+\frac{a^2\left(tg\alpha -2\right)}{2tg\alpha }=\fbox{\frac{a^2\left(tg\alpha -1\right)}{2tg\alpha }}[/tex]
[tex]S_{MBCN}=S_{ABCD}-S_{AMND}=a^2-\frac{a^2\left(tg\alpha -1\right)}{2tg\alpha }=\fbox{\frac{a^2\left(tg\alpha +1\right)}{2tg\alpha }}[/tex]
Тогава отношението е [tex]\frac{S_{AMND}}{S_{MBCN} }=\frac{\frac{a^2\left(tg\alpha -1\right)}{2tg\alpha }}{\frac{a^2\left(tg\alpha +1\right)}{2tg\alpha }}=[/tex][tex]\blue\fbox{\frac{tg\alpha -1}{tg\alpha +1 }}[/tex]
П.П. Също можеш да намериш [tex]S_{AMND}[/tex] като лице на трапец...

[prodanov]

Вероятно имаш предвид, че [tex]\angle AMN=\alpha[/tex]...
Построяваме [tex]NH \bot AB[/tex] ([tex]H\in AB[/tex]).
От правоъгълния [tex]\Delta HMN[/tex] имаме, че [tex]tg\angle HMN=\frac{NH}{MH }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]tg\alpha =\frac{a}{MH }[/tex] [tex]\Rightarrow MH=\frac{a}{tg \alpha }[/tex]

Мъчих се и аз над тая задача и ме заинтригува решението ни, но ето че не разбрах нещо. Как [tex]tg\alpha = \frac{a}{MH}[/tex] ?

Не можах да го получа.
[tex]tgANH = \frac{AH}{HN}[/tex]
[tex]tgHNM = \frac{HM}{HN}[/tex]

[tex]tg\alpha = tg(\angle ANH+\angle HNM) = \frac{tgANH + tgHNM}{1 - tgANHtgHNM} = \frac{\frac{AH}{HN} + \frac{HM}{HN}}{1 - \frac{AH}{HN}\frac{HM}{HN}} = \frac{AH+HM}{HN}.\frac{HN^2}{HN^2 - AH.HM} =[/tex]
[tex]= \frac{HN(AH+HM)}{HN^2-AH.HM} = \frac{a^2}{2a^2-2AH.HM}[/tex]

[L.e.o]

Спусни нагоре препендикуляра от М и лицето на триъглничето, което се получава е а^2/2tg? ( а лицето на полуквадрат е а^2/2).
И търсеното отношението веднага става:
MBCN/AMND = (a^2/2 + а^2/2tg?)/(a^2/2 - а^2/2tg?) = (tg?+1)/(tg?-1)
Така е по-бързо.

[prodanov]

"лицето на триъглничето, което се получава е а^2/2tg? "

Тва как го получи?

[L.e.o]

[prodanov]

Грешката е изцяло моя, извинявам се за тъпите въпроси. Бях объркал AMN с ANM.

[skidrow]

Както винаги - невероятни! Благодаря !