На пръв поглед неопределена задача

[KOPMOPAH]

Задачата ми хареса с привидната си неопределеност.

Търси се лицето на жълтата област, ако червената отсечка е равна на $1$.

Три полуокръжности.png (5.24 KiB) Прегледано 123 пъти

[ammornil]

Допускам, че центровете на двете зелени окръжности лежат на един и същ диаметър на жълтата, двете зелни окръжности са взаимно допирателни и червената отсечка е перпендикулярна на диаметрите на трите полуокръжности. Верни ли са допусканията ми?

[Darina73]

И аз мисля така и получих [tex]\frac{ \pi }{4}[/tex] .

[ammornil]

Ако горните допускнания са верни то$\\[6pt]$

Screenshot 2026-09-05 174656.png (45.4 KiB) Прегледано 98 пъти

$\\[6pt] k(O,R); k_{1}(O_{1},R_{1}); k_{2}(O_{2},R_{2}) \\[6pt]\sqsupset{} AC=d_{1}, BC=d_{2}, AB=d_{1}+d_{2} \\[6pt] \text{Хорда перпендикулярна на диаметър се разполовява в пресечната им точка} \rightarrow AC\cdot{CB}=CE^{2} \quad \Leftrightarrow d_{1}\cdot{d_{2}}=1 \\[6pt] S_{k}=\dfrac{\pi{}\cdot{(d_{1}+d_{2})^{2}}}{4} \\[6pt] S_{k_{1}}=\dfrac{\pi{}\cdot{d_{1}^{2}}}{4} \\[6pt] S_{k_{2}}=\dfrac{\pi{}\cdot{d_{2}^{2}}}{4} \\[6pt] $Търсената площ е:$\\[6pt] A=\dfrac{1}{2}(S_{k}-S_{k_{1}}-S_{k_{2}})= \dfrac{\pi{}\cdot{(d_{1}^{2}+2d_{1}d_{2}+d_{2}^{2})}}{8} - \dfrac{\pi{}\cdot{d_{1}^{2}}}{8} -\dfrac{\pi{}\cdot{d_{2}^{2}}}{8} \\[6pt] A=\dfrac{\pi{}}{8}(d_{1}^{2}+2d_{1}d_{2}+d_{2}^{2}-d_{1}^{2}-d_{2}^{2})= \dfrac{\pi{}}{4}d_{1}d_{2}=\dfrac{\pi{}}{4} $

[peyo]

Задачата ми хареса с привидната си неопределеност.

Търси се лицето на жълтата област, ако червената отсечка е равна на $1$.

Три полуокръжности.png

Ще използваме **Принципа на математическото удобство**.

Радиусът на голямата полуокръжност не е зададен, следователно можем да изберем удобна стойност. Нека $R=1$.

Тогава радиусите на двете малки полуокръжности са по $\frac12$, следователно жълтата област е $S=\frac{\pi\cdot1^2}{2}-2\cdot\frac{\pi(1/2)^2}{2}=\frac{\pi}{4}$.

Значи $S=\frac{\pi}{4}$.

**Принцип на математическото удобство:** Ако търсената величина е инвариантна спрямо даден параметър, стойността на този параметър може да бъде избрана произволно, в частност така, че да опрости пресмятанията.