Четириъгълник

[strangerforever]

Да се намери лицето на четириъгълник, единият диагонал на който е 30 см, а отсечките, съединяващи средите на двойките срещуположни страни, са 28 см и 26 см.

[ganka simeonova]

Ползвай теоремата на Вариньон, а именно че като свържеш средите на страните на произволен четириъгълник се получава успоредник.
Тогава диагоналите на този успоредник ще са 26 и 28, а едната страна ще е половинка от дадения диагонал, т.е. 15
Така ще намериш другата страна на успоредника (втория диагонал на четириъгълника) и синуса на ъгъла м/у страните на успоредника ( а това е ъгълът м/у диагоналите на четириъгълника)

[strangerforever]

Ползвай теоремата на Вариньон, а именно че като свържеш средите на страните на произволен четириъгълник се получава успоредник.
Тогава диагоналите на този успоредник ще са 26 и 28, а едната страна ще е половинка от дадения диагонал, т.е. 15
Така ще намериш другата страна на успоредника (втория диагонал на четириъгълника) и синуса на ъгъла м/у страните на успоредника ( а това е ъгълът м/у диагоналите на четириъгълника)

Задачата я реших, само един въпрос - наготово ли мога да ползвам, че страните на този успоредник са половината от диагоналите и ъглите му са ъглите, получени при пресичане на диагоналите, или трябва да го доказвам? (знам, че е елементарно доказателството)

[nelkata]

Здравейте! От скоро съм в този форум ! Мога ли да ви попитам за същата задача за четиръгълника , само че при мен освен лицето се търси и диагоналът BD , който не мога да немеря ? Благодаря предварително !

[dimy93]

Решението минава през това да намериш BD
Eто го накратко и него:
Дадено : ABCD , AC =30 ,M,N,Q,P-среди на AB,BC,CD,DA,QM = 28,PN=26
MN -средна отсечка в ABC => MN =15 и MN || AC
PQ -средна отсечка в ACD => PQ|| AC ||MN и PQ=MN=15 => MNPQ -успоредник със диагонали 28 и 26 и страна 15.
От теорема 2PM^2+2MN^2=PN^2+MQ^2(изкарва се с 2 cosови ако не я знаеш-за острият и за тъпият ъгъл на успоредника)
Аз получавам че PM =QN=BD/2(Пак като средни отсечки)=[tex]\sqrt{505}[/tex]=>[tex]BD =2 \sqrt{505}[/tex]
От тук след използавнето няколко успоредни прави ще докажеш че ъгъла м/у диагоналите е ъгъла на PMNQ
Ще го намериш от cos-ова th и основното тригонометрично равенство и накрая ще направиш лицет което е[tex]\frac{AC*BD*sin\angle(AC;BD)}{2 }[/tex]