Лице на многоъгълник

[tj_love]

Нека f е функция, която на всеки многоъгълник М съпоставя реално число f(M) и има следните свойства:
- ако М е многоъгълник, то f(M) > 0
- ако M_{1} \cong M_{2}, то f (M_{1}) = f (M_{2})
- ако многоъгълникът М е обединение на два многоъгълника M_{1} и M_{2} без общи вътрешни точки, то f(M) = f(M_{1}) + f (M_{2})
- ако E е квадрат със страна 1, то f(Q) = 4.
Нека Т е триъгълник, една от страните на който има дължина а и височина към нея h. Напишете формулата за f(Q) изразена чрез a и h. Докажете написаната формула, като използвате за лице на правоъгълник и триъгълник.

[grav]

Първо показваш, че за правоъгълник [tex]\Pi[/tex] със страни рационални числа [tex]a,b[/tex], имаме [tex]f(\Pi)=4ab[/tex]. След това показваш, че ако [tex]M_1\subset M_2[/tex] то [tex]f(M_1)\le f(M_2)[/tex]. Тогава за правоъгълни с произволи страни разглеждаш редици от рационални числа, които клонят към страните, от горе и от долу, за да получиш оценка за стойнста на функцията. От там е ясно, че при граничния преход, стойноста и ще се дава чрез същата формула. При даден триъгълник допълваш го до правоъгълник, и от тук се вижда, че стойноста ще е половината.