точни квадрати със страни ест. числа

[Little Bad Girl]

Здравейте! Нова съм тук. Трябва ми помощ за следната задача:
Дадени са n>1 квадрати с дължини на страните в см естествени числа. Да се докаже, че или има един квадрат, чието лице се дели на n, или има няколко квадрата, сборът от лицата, на които се дели на n.
Може ли някой да ми помогне??? Трябва ми за утре...)

[Гост]

Нека страните са [tex]a_i, i=1,2,\ldots, n[/tex]
Aко [tex]\exist i:\hspace{2mm} n|a_i^2[/tex] e ок.
Нека не е изпълнено горното. Тогава [tex]a_i^2 \not \equiv 0 \pmod{n} \forall i[/tex]. Нека [tex]a_i^2 \equiv b_i \pmod{n}, \hspace{2mm}1\le b_i\le n[/tex].
Гледаме сумите
[tex]S_1=a_1^2[/tex]
[tex]S_2=a_1^2+a_2^2[/tex]
.....
[tex]S_n=a_1^2+a_2^2+\cdots + a_n^2[/tex]
Те са [tex]n[/tex] наброй и ако никоя не се дели на [tex]n[/tex], то от принципа на Дирехле има 2 равни по модул [tex]n[/tex] - например [tex]S_i[/tex] и [tex]S_j[/tex] [tex]i<j[/tex], тогава [tex]a_1^2+a_2^2+\ldots + a_i^2 \equiv a_1^2+a_2^2+\ldots a_j^2 \pmod{n}\Rightarrow a_{i+1}^2+\ldots a_j \equiv 0 \pmod{n}[/tex].