АD=DB, BC=9 cm и cosABC= 2/3 , AB?

[red]

В тр-к ABC е вписана окръжност, която се допира до страната BC в точка D. Ако АD=DB, BC=9 cm и cosABC= 2/3 , да се намери дължината на страната AB.

Не мога да реша тази задача.

[ismarti]

В тр-к ABC е вписана окръжност, която се допира до страната BC в точка D. Ако АD=DB, BC=9 cm и cosABC= 2/3 , да се намери дължината на страната AB.

Не мога да реша тази задача.

Нещо тази задача и на чен ми създава проблеми, и аз ще съм благодарен, ако някой помогне.

[ismarti]

Случайно отговорът да е 8?

[dim]

Не, [tex]4[/tex] е. Само че сега не ми се пише решение.

[dim]

И 8 не е. Ето моето решение. Сигурно има и по-лесно.
[tex]DD_1=\frac{c}{2}tg{\beta}=\frac{c\sqrt{5}}{4}[/tex], защото [tex]AD=BD[/tex] по условие.
[tex]OD_1=tg{\frac{\beta}{2}DD_1}=\frac{\sqrt{5}}{5}.\frac{c\sqrt{5}}{4}=\frac{c}{4}[/tex], но [tex]AD_1=\frac{c}{2}[/tex] => [tex]AO_1=\frac{c}{4}[/tex]. Имаме и радиуса на вписаната в [tex]ABC[/tex] окръжност [tex]r=tg{\frac{\beta}{2}}.\frac{3}{4}c=\frac{3\sqrt{5}}{20}[/tex]
От друга страна [tex]S=p.r=(9+\frac{c}{4}).\frac{3\sqrt{5}}{20}c[/tex] и [tex]S=\frac{CC_1.c}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}c[/tex] => [tex]c=4[/tex].

[red]

И 8 не е. Ето моето решение. Сигурно има и по-лесно.
[tex]DD_1=\frac{c}{2}tg{\beta}=\frac{c\sqrt{5}}{4}[/tex], защото [tex]AD=BD[/tex] по условие.
[tex]OD_1=tg{\frac{\beta}{2}DD_1}=\frac{\sqrt{5}}{5}.\frac{c\sqrt{5}}{4}=\frac{c}{4}[/tex], но [tex]AD_1=\frac{c}{2}[/tex] => [tex]AO_1=\frac{c}{4}[/tex]. Имаме и радиуса на вписаната в [tex]ABC[/tex] окръжност [tex]r=tg{\frac{\beta}{2}}.\frac{3}{4}c=\frac{3\sqrt{5}}{20}[/tex]
От друга страна [tex]S=p.r=(9+\frac{c}{4}).\frac{3\sqrt{5}}{20}c[/tex] и [tex]S=\frac{CC_1.c}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}c[/tex] => [tex]c=4[/tex].

Сега само преглеждайки ти чертежа се усещам, че моят не е така. Няма да ти гледам за момента решението. Ще се опитам да направя нов чертеж и да я реша.

[dimo72]

Има ли по-леко решение на задачата?