Подобни триъгълници

[ronito01]

В окръжност е вписан триъгълник АВС, в който АС=СВ=а и АВ=b. През В и С са построени допирателни, пресичащи се в т.D. На какви отсечки се разделя ВС от АD ?

[Knowledge Greedy]

Тъй като допирателните [tex]DC=DB[/tex], означаваме ги с [tex]t[/tex], не е трудно да се забележи, че [tex]CD||AB[/tex] и се оказва, че [tex]ABDC[/tex] е трапец. Спускаме медианата [tex]CM[/tex], която е и височина в равнобедрения
[tex]\Delta ABC[/tex], както и [tex]BF||CM, F\in CD.[/tex] Решаваме двата правоъгълни триъгълника
[tex]\Delta AMC[/tex] и [tex]\Delta BDF.[/tex] Получаваме[tex]t^2-(t-\frac{b}{2 })^2=a^2-(\frac{b}{2 })^2[/tex], откъдето
[tex]t=\frac{a^{2}}{b }[/tex]. Остава да приложим теорема на Талес за ъгъл [tex]\angle APD[/tex] и двойката успоредни [tex]CD||AB[/tex]. Резултатът е [tex]\frac{x}{a-x }=\frac{b}{ t} .[/tex] Заместваме с намереното [tex]t[/tex] и намираме търсените отсечки [tex]CM=\frac{a^3}{a^{2}+b^{2} }[/tex] и [tex]BM=\frac{ab^2}{a^{2}+b^{2} } .[/tex]

Подобни Окръжности.PNG (9.32 KiB) Прегледано 351 пъти