правоъгълен триъгълник

[abc]

Да се намерят ъглите на правоъгълен триъгълник, ако медицентърът му е точка от вписаната в триъгълника окръжност.

[Knowledge Greedy]

Един от острите му ъгли [tex]\alpha[/tex] има [tex]tg {\alpha}=\frac{3+\sqrt{5} }{2 }[/tex],
респективно другият е с [tex]tg {\beta }=\frac{3-\sqrt{5} }{2 }[/tex].

[abc]

Един от острите му ъгли [tex]\alpha[/tex] има [tex]tg {\alpha}=\frac{3+\sqrt{5} }{2 }[/tex],
респективно другият е с [tex]tg {\beta }=\frac{3-\sqrt{5} }{2 }[/tex].

Защо?

[Knowledge Greedy]

Отговорът ми бе прибързан. И след като никой не намери време да поправи резултата, ето решението.
Ще използваме стандартните означения.

Правоъгълният триъгълник на abc.PNG (7.25 KiB) Прегледано 491 пъти

По косинусова теорема за [tex]\Delta GIC[/tex] получаваме зависимостта [tex]\,\ r^2=\left ( \frac{c}{3} \right )^2+(r\sqrt{2})^2-2 \frac{c}{3} r\sqrt{2}cos(45^{\circ}-\alpha)[/tex]

И тъй като [tex]\,\ c\sqrt{2}cos(45^{\circ}-\alpha)=a+b[/tex],
то косинусовото равенство добива вида

[tex]\frac{c^2}{9}+r^2=\frac{2}{3}(a+b)r[/tex]

За всеки правоъгълен триъгълник се знае, че [tex]a+b=c+2r[/tex] [tex]\,\ (\ast)[/tex].

Замествайки, получаваме [tex]\frac{c^2}{9}+3r^2=(2c+2r)r-cr[/tex]

[tex]c^2-6rc-3r^2=0[/tex]

[tex]c=(3+2\sqrt{3})r[/tex]

А като решим системата

[tex]a+b=c+2r[/tex]
[tex]ab=2(c+r)r[/tex] - второто е от изразяване на лицето на целия триъгълник по два начина,
получаваме и катетите, след което се намират тригонометрични функции на ъглите.

[abc]

Как от системата получаваш катетите?

[Knowledge Greedy]

Начини много. Аз предпочитам с формулите на Виет. Уравнението, чиито корени са [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], е
[tex]t^2-(c+2r)t+2(c+r)r=0[/tex]

[tex]D=(c+2r)^2-8(c+r)r[/tex]
Сега ще използваме намерената стойност на [tex]c=(3+2\sqrt{3})r[/tex]

[tex]D=c^2-4cr-8r^2=(5+4\sqrt{3})r^2[/tex]

И тъй като приехме [tex]a<b[/tex]
[tex]b=\frac{5+2\sqrt{3}+\sqrt{5+4\sqrt{3}}}{2}[/tex]

[tex]a=\frac{5+2\sqrt{3}-\sqrt{5+4\sqrt{3}}}{2}[/tex]
И остава да намерим примерно [tex]tg\alpha =\frac{5+2\sqrt{3}-\sqrt{5+4\sqrt{3}}}{5+2\sqrt{3}+\sqrt{5+4\sqrt{3}}}[/tex]

Помолих двама изчислители с различни калкулатори и те ми дадоха следния резултат
[tex]tg\alpha \approx 0,412817266[/tex] [tex]\Rightarrow \,\ \alpha \approx 22^\circ 25'54'',04952[/tex]

[tex]tg\alpha \approx 0,420410489[/tex] [tex]\Rightarrow \,\ \alpha \approx 22^\circ 48'8'',62342[/tex]