Задачка

[nikola]

ТриъгълникABC, ACB=15°, BAC=45°, M е на AB, AM=1/2MB.
∠ BMC=?

[Nathi123]

Да означим АМ = х , МВ = 2х [tex]\angle BMC[/tex] = [tex]\varphi[/tex] , MC = y . Триъг. АВС син. т-ма [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{sin45}[/tex] = [tex]\frac{3x}{sin15}[/tex] ( a = BC) . a = [tex]\frac{3x\sqrt{2}}{2sin15}[/tex] Триъг. MBC син. т-ма [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{sin\varphi}[/tex] = [tex]\frac{y}{sin120}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] y = [tex]\frac{3\sqrt{6}x}{4sin15sin\varphi}[/tex]. Триъг. АСМ син т-ма [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{y}{sin45}[/tex] = [tex]\frac{x}{sin(\varphi-45)}[/tex] ( ъгъл [tex]\varphi[/tex] - външен за триъг. АМС и ъгъл АСМ = [tex]\varphi[/tex] - 45) [tex]\Rightarrow[/tex] 3[tex]\sqrt{3}[/tex] sin( [tex]\varphi[/tex] - 45 ) = 2 sin 15. sin [tex]\varphi[/tex]. Прилагаме формулата за синус на разлика на два ъгъла и получаваме 3[tex]\sqrt{6}[/tex]( sin[tex]\varphi[/tex] - cos[tex]\varphi[/tex]) = 4sin15sin[tex]\varphi[/tex] / : sin [tex]\varphi[/tex]. След малко преобразувания получаваме cotg[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{3\sqrt{6}-4sin15}{3\sqrt{6}}[/tex].
sin 15 = sin ( 45 - 30) .

[nikola]

Благодаря за обстойното решение, но още не сме учили тригонометрия. Мислиш ли, че има друго решение. Да се построи точка или да се продължи страна...

[Alex98]

nikola.PNG (10.38 KiB) Прегледано 578 пъти

Ами няма как да се реши без тригонометрия.Предполагам сега си 10 клас и миналата година сте учили теорема на Питагор и тригонометрични зависимости в правоъгълен триъгълник , а именно [tex]tg \alpha = \frac{a}{b}[/tex].Ето едно решение от мен.
Нека [tex]H[/tex] е петата на височината към [tex]AB[/tex] и нека [tex]BH=x \Rightarrow BC=2x[/tex] и от теорема на Питагор [tex]\Rightarrow CH=x\sqrt{3}[/tex]
[tex]\Delta AHC[/tex] е равнобедрен правоъгълен [tex]\Rightarrow AH=CH=x\sqrt{3} \Rightarrow AB=AH-BH=x(\sqrt{3}-1)[/tex]
[tex]BM=\frac{2}{3}AB=\frac{2x(\sqrt{3}-1)}{3} \Rightarrow MH=\frac{x(2\sqrt{3}+1)}{3}[/tex]
Сега разглеждаме правоъгълния триъгълник [tex]\Delta MHC[/tex] ,за който знаем [tex]tg \angle HMC=\frac{CH}{MH}=x\sqrt{3}:\frac{x(2\sqrt{3}+1)}{3}=\frac{3x\sqrt{3}}{x(2\sqrt{3}+1)}=\frac{3\cancel{x}\sqrt{3}(2\sqrt{3}-1)}{\cancel{x}(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)}=\frac{18-3\sqrt{3}}{11}[/tex]

[inveidar]

Поне косинусова теорема учили ли сте?

[inveidar]

nikola.PNG

Ами няма как да се реши без тригонометрия.Предполагам сега си 10 клас и миналата година сте учили теорема на Питагор и тригонометрични зависимости в правоъгълен триъгълник , а именно [tex]tg \alpha = \frac{a}{b}[/tex].Ето едно решение от мен.
Нека [tex]H[/tex] е петата на височината към [tex]AB[/tex] и нека [tex]BH=x \Rightarrow BC=2x[/tex] и от теорема на Питагор [tex]\Rightarrow CH=x\sqrt{3}[/tex]
[tex]\Delta AHC[/tex] е равнобедрен правоъгълен [tex]\Rightarrow AH=CH=x\sqrt{3} \Rightarrow AB=AH-BH=x(\sqrt{3}-1)[/tex]
[tex]BM=\frac{2}{3}AB=\frac{2x(\sqrt{3}-1)}{3} \Rightarrow MH=\frac{x(2\sqrt{3}+1)}{3}[/tex]
Сега разглеждаме правоъгълния триъгълник [tex]\Delta MHC[/tex] ,за който знаем [tex]tg \angle HMC=\frac{CH}{MH}=x\sqrt{3}:\frac{x(2\sqrt{3}+1)}{3}=\frac{3x\sqrt{3}}{x(2\sqrt{3}+1)}=\frac{3\cancel{x}\sqrt{3}(2\sqrt{3}-1)}{\cancel{x}(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)}=\frac{18-3\sqrt{3}}{11}[/tex]

Хайде сега и другия случай!

[Alex98]

Друг случай има само ако е казано, че М е на правата определена от А и В.При така зададеното условие би трябвало М да лежи на отсечката АВ.Господина така ни обясни в училище.Точките се записват с главни латински букви, отсечките се записват с помощта на двете точки които ги определят , а правите се записват с малките латински букви.Ако се каже , че е дадена правата а , определена от точките А и В и точка М принадлежи на правата а ще имаме два случая.При така зададеното условие би трябвало М да лежи на отсечката АВ и тогава случая е само един.Решението във втория случай е аналогично на предходното , но тогава [tex]MH=MB+BH=2AB+BH=x(2\sqrt{3}-1)[/tex]

[inveidar]

Друг случай има само ако е казано, че М е на правата определена от А и В.При така зададеното условие би трябвало М да лежи на отсечката АВ.Господина така ни обясни в училище.Точките се записват с главни латински букви, отсечките се записват с помощта на двете точки които ги определят , а правите се записват с малките латински букви.Ако се каже , че е дадена правата а , определена от точките А и В и точка М принадлежи на правата а ще имаме два случая.При така зададеното условие би трябвало М да лежи на отсечката АВ и тогава случая е само един.Решението във втория случай е аналогично на предходното , но тогава [tex]MH=MB+BH=2AB+BH=x(2\sqrt{3}-1)[/tex]

Кажи на господина, че когато е казано АВ и не е уточнено отсечка ли е или права се подразбира правата АВ, която съдържа отсечката АВ.

[math10.com]

Че условието не е зададено добре съм съгласен , но тук не си прав "inveidar" .Когато не е уточнонено в условието дали АВ е права или отсечка ,то преценката е спрямо контекста на зададеното условие.В това условие АВС е триъгълник и АВ,АС и ВС са му страните т.е негласно са зададени като отсечки .Тогава ако не е уточнено нищо за АВ ,то по подразбиране трябва да е отсечка.Ако по условие е дадено да речем : "Точките А и В са произволни точки в равнината и нека точка М е от АВ".Тук може да считаме АВ ,за правата АВ , тъй като никъде в условието не е обосновано ,че А и В са нещо друго освен две точки в равнината определящи правата АВ.
Ето и малко математически символи:

[tex]AB[/tex] отбелязваме отсечка
[tex]|AB|[/tex] е дължина на отсечка
[tex]AB^{\rightarrow}[/tex] отбелязваме лъч
[tex]\vec{AB}[/tex] отбелязваме вектор
[tex]AB^{\leftrightarrow}[/tex] отбелязваме права
[tex]\widehat{AB}[/tex] отбелязваме дъга

В случая си имаме възможност ясно и точно да опишем условието с математически символи без излишни думи ,като например [tex]M \in AB[/tex] или [tex]M \in AB^{\leftrightarrow}[/tex].Това ,че някой го мързи да описва условията и решенията правилно , не означава че трябва да слагаме собствена преценка ,за това кой символ какво означава.Не е редно в случая да се говори експертно в множествено число , за това кога какво се подразбира , тъй като подразбирането само по себе си е субективно мнение.Вместо да похвалиш детето ,за положеното усилие и написаното решение , ти го нападаш с никому ненужни критики.А остави другото ами го съветваш да влезе в конфликт с неговия(нейния) учител , който ако се окаже с характер подобен на твоя ще му развали успеха.

[inveidar]

Вместо да похвалиш детето ,за положеното усилие и написаното решение , ти го нападаш с никому ненужни критики.

И къде по-точно го нападнах с никому ненужни критики?!

[inveidar]

Че условието не е зададено добре съм съгласен , но тук не си прав "inveidar" .Когато не е уточнонено в условието дали АВ е права или отсечка ,то преценката е спрямо контекста на зададеното условие.В това условие АВС е триъгълник и АВ,АС и ВС са му страните т.е негласно са зададени като отсечки .Тогава ако не е уточнено нищо за АВ ,то по подразбиране трябва да е отсечка.

И къде е казано, че АВ, ВС и АС са страните му? Ето го оригиналното условие на момчето: ТриъгълникABC, ACB=15°, BAC=45°, M е на AB, AM=1/2MB.
∠ BMC=?

От АВС триъгълник не следва ли, че точките А и В лежат на правата АВ?

[inveidar]

И последно да попитам: Какво ми е на характера?

[math10.com]

По определение един триъгълник има 3 върха (В дадения случай А,В и С) , има 3 ъгъла ([tex]\angle[/tex]ВАС,[tex]\angle[/tex]АВС и [tex]\angle[/tex]АСВ и съответно 3 страни определени с отсечките между върховете му т.е АВ,АС и ВС.Така ,че ако по условие имаме зададен триъгълник АВС , не е нужно да показваме допълнително че страните му са отсечките АВ,АС и ВС.
Това ,че отсечките АВ,ВС и АС определят правите АВ,ВС и АС не означава ,че при зададен по условие триъгълник се говори за правите определени от страните му.
Ако искаш по подразбиране да използваш прави в подобен тип задача би трябвало да е зададена да речем така:
Правите [tex]a,b,c[/tex] са такива че [tex]a \cap c=B ; a \cap b=C , b \cap c=A[/tex].Ако М е на АВ и .......
Тук отново имаме триъгълник АВС но по условие се говори за правите [tex]a,b,c[/tex]

И къде по-точно го нападнах с никому ненужни критики?!

Ето тук се опитваш да обясниш че решението е непълно.

Хайде сега и другия случай!

А тук съветваш дете да обучава учител , което не мисля че ще донесе на детето положителни емоции.

Кажи на господина, че когато е казано АВ и не е уточнено отсечка ли е или права се подразбира правата АВ, която съдържа отсечката АВ.

И последно да попитам: Какво ми е на характера?

Ами нищо му няма.Просто е заядлив.

[inveidar]

Съжалявам, но не ме убеди в правотата на нито една от критиките си към мен.