косинусова теорема

[moni2003petrova]

Намерете страните на триъгълник с периметър 16, ако cotg [tex]\beta[/tex] = 5.√6/12, cotg [tex]\gamma[/tex] = -√6/12.

[Евва]

4 ;5 ;7 ли е отговора ?
В решението си използвах синусова теорема . Учили ли сте я ?

[moni2003petrova]

Да, учили сме синусовата теорема.

[S.B.]

Без заглавие (57).png (155.09 KiB) Прегледано 373 пъти

Намерете страните на триъгълник с периметър 16, ако cotg [tex]\beta[/tex] = 5.√6/12, cotg [tex]\gamma[/tex] = -√6/12.

Ако правилно съм разбрала [tex]cotg\beta = \frac{5\sqrt{6}}{12}, cotg\gamma = - \frac{\sqrt{6}}{12}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{cos\beta}{sin\beta} = \displaystyle\frac{5\sqrt{6}}{12} \\ sin^{2}\beta + cos^{2}\beta = 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} cos\beta =\displaystyle \frac{5\sqrt{6}}{12}.sin\beta\\ sin^{2}\beta + cos^{2}\beta = 1 \end{array} \Leftrightarrow sin^{2}\beta + \displaystyle\frac{25}{24}.sin^{2}\beta = 1 \Leftrightarrow sin^{2}\beta (1 + \displaystyle\frac{25}{24}) = 1[/tex]
$sin^{2}\beta = \frac{24}{49} \Rightarrow sin\beta = \frac{2\sqrt{6}}{7} ; cos\beta = \frac{5}{7}$

$\gamma \in (0;180^\circ) ,cotg\gamma = -\frac{\sqrt{6}}{12} < 0 \Rightarrow \gamma > 90^\circ ,cos\gamma< 0 , sin\gamma > 0$

[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{cos\gamma}{sin\gamma} = -\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{12}\\sin^{2}\gamma + cos^{2}\gamma = 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} cos\gamma = - \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{12}.sin\gamma\\ sin^{2}\gamma + cos^{2}\gamma = 1 \end{array} \Leftrightarrow sin^{2}\gamma + \displaystyle\frac{1}{24}.sin^{2}\gamma = 1 \Leftrightarrow \displaystyle \frac{25}{24}.sin^{2}\gamma = 1[/tex]
$sin^{2}\gamma = \frac{24}{25} \Rightarrow sin\gamma = \frac{2\sqrt{6}}{5} ; cos\gamma = - \frac{1}{5}$
По условие $\rightarrow a + b + c = 16$
По Синусова теорема $\rightarrow \displaystyle\frac{c}{sin\gamma} = \displaystyle\frac{b}{sin\beta} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{c}{\displaystyle\frac{2\sqrt{6}}{5}} = \displaystyle\frac{b}{\displaystyle\frac{2\sqrt{6}}{7}} \Leftrightarrow 5c = 7b \Rightarrow c = \frac{7}{5}b$
По Косинусова теорема $ \rightarrow c^{2} = a^{2} + b^{2} + \frac{2}{5}.ab$
Образувам система:
[tex]\begin{array}{|l}a + b + c = 16 \\ c = \displaystyle\frac{7}{5}b\\c^{2} = a^{2} + b^{2} + \displaystyle\frac{2}{5}ab\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 5a + 12b = 80 \\ 25a^{2} + 10.ab - 24b^{2} = 0\end{array}[/tex] ,където второто уравнение е хомогенно ,$a \ne 0 , b \ne0$
и мога да деля на $b^{2}$
$25(\frac{a}{b})^{2} + 10.\frac{a}{b} - 24 = 0$ , полагам $\frac{a}{b} = k$ и получавам
$25k^{2} + 10k - 24 = 0 ,D = 2500,\sqrt{D} = 50, k_{1,2} = \frac{-10 \pm 50}{50} , k_{1 } = \frac{a}{b}= \frac{4}{5} ,k_{2 } = \frac{a}{b} = - \frac{6}{5} < 0 $,което не е възможно;
[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{a}{b} = \displaystyle\frac{4}{5} \\ 5a + 12b = 80 \end{array} \Leftrightarrow 16b = 80 \Rightarrow b = 5 ; a = \displaystyle \frac{4}{5}. b \Rightarrow a = 4 , c = 16 - (4 + 5) = 7[/tex]
$$a = 4, b = 5 , c = 7$$