триъгълник

[moni2003petrova]

В равнобедрения триъгълник ABC (АС=ВС), e вписана окръжност с център точката О. Правата АО пресича страната ВС в точката М. Известно е, че АО=3, ОМ=2. Намерете соs [tex]\angle[/tex]ВАС и радиуса на описаната около ΔАВС окръжност.

[Евва]

Нека СН е височина в [tex]\triangle[/tex]АВС ,[tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\alpha[/tex] .
cos[tex]\alpha[/tex]=? R=?
СО е ъглополовяща [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{АО}{ОМ}[/tex]=[tex]\frac{АС}{МС}[/tex] ; [tex]\frac{3}{2}[/tex]=[tex]\frac{АС}{МС}[/tex] ; означаваме АС=3х , МС=2х

АМ е ъглополовяща [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{СМ}{ВМ}[/tex]=[tex]\frac{АС}{АВ}[/tex] ; [tex]\frac{2х}{х}[/tex]=[tex]\frac{3х}{АВ}[/tex] ; АВ=[tex]\frac{3х}{2}[/tex] (1) [tex]\Rightarrow[/tex] АН=[tex]\frac{3х}{4}[/tex] (2)

cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{AH}{AC}[/tex]=[tex]\frac{\frac{3x}{4}}{3x}[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex] тогава sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex]

АМ е ъглополовяща [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]АМ^{2}[/tex]=АВ.АС-ВМ.СМ ; 25=[tex]\frac{3x}{2}[/tex].3x-x.2x |.2
9[tex]x^{2}[/tex]-4[tex]x^{2}[/tex]=50 ; 5[tex]x^{2}[/tex]=50 ; x=[tex]\sqrt{10}[/tex]

(sin T ) [tex]\frac{BC}{sin\alpha}[/tex]=2R ; [tex]\frac{3x}{\frac{\sqrt{15}}{4}}[/tex]=2R ; [tex]\frac{12\sqrt{10}}{\sqrt{15}}[/tex]=2R ;R=[tex]\frac{12\sqrt{5}\sqrt{2}}{2\sqrt{5}\sqrt{3}}[/tex] ; R=2[tex]\sqrt{6}[/tex]