Определете вида на триъгълника

[Гост]

Здравейте!
Имам следната задача:
Определете вида на триъгълника, ако синус алфа е равно на 2 пъти синус бета х косинус гама.

[Davids]

$sin\alpha = 2sin\beta cos\gamma$ ли се има предвид?

[Гост]

Да

[Davids]

$sin\alpha = 2sin\beta cos\gamma$

Но:
$sin\alpha = sin(180°-(\beta + \gamma)) = sin(\beta + \gamma) = sin\beta cos\gamma + cos\beta sin\gamma$

Тогава:
$sin\beta cos\gamma + cos\beta sin\gamma = 2sin\beta cos\gamma$
$\Rightarrow sin\beta cos\gamma - cos\beta sin\gamma = 0$
$sin(\beta - \gamma) = 0$

И тъй като всички ъгли са в триъгълник и са по-малки от $\pi$ радиана, то единствена възможност е $\beta = \gamma$, т.е. триъгълникът е равнобедрен. Това е, смятам, всичко, което можем да изведем като информация.

[Гост]

Благодаря!

[peyo]

$sin\alpha = 2sin\beta cos\gamma$

И тъй като всички ъгли са в триъгълник и са по-малки от $\pi$ радиана, то единствена възможност е $\beta = \gamma$, т.е. триъгълникът е равнобедрен. Това е, смятам, всичко, което можем да изведем като информация.

Реших да проверя дали е така:

Код: Избери целия код

In [146]: a = pi/4 ; b = pi/4 ; c = pi - (a+b)

In [147]: a,b,c, a+b+c
Out[147]: (pi/4, pi/4, pi/2, pi)

In [148]: sin(a)-2*sin(b)*cos(c)
Out[148]: sqrt(2)/2

In [149]: a = pi/3 ; b = pi/3 ; c = pi - (a+b)

In [150]: a,b,c, a+b+c
Out[150]: (pi/3, pi/3, pi/3, pi)

In [151]: sin(a)-2*sin(b)*cos(c)
Out[151]: 0

Според тези изчисления, равнобедрен триъгълник не е решение, но равностранен е.

[Davids]

$sin\alpha = 2sin\beta cos\gamma$

И тъй като всички ъгли са в триъгълник и са по-малки от $\pi$ радиана, то единствена възможност е $\beta = \gamma$, т.е. триъгълникът е равнобедрен. Това е, смятам, всичко, което можем да изведем като информация.

Реших да проверя дали е така:

Код: Избери целия код

In [146]: a = pi/4 ; b = pi/4 ; c = pi - (a+b)

In [147]: a,b,c, a+b+c
Out[147]: (pi/4, pi/4, pi/2, pi)

In [148]: sin(a)-2*sin(b)*cos(c)
Out[148]: sqrt(2)/2

In [149]: a = pi/3 ; b = pi/3 ; c = pi - (a+b)

In [150]: a,b,c, a+b+c
Out[150]: (pi/3, pi/3, pi/3, pi)

In [151]: sin(a)-2*sin(b)*cos(c)
Out[151]: 0

Според тези изчисления, равнобедрен триъгълник не е решение, но равностранен е.

Не съм съгласен. След като намерим $\beta = \gamma$, се връщаме на даденото.
$sin\alpha = 2sin\beta cos\gamma = 2sin\beta cos\beta = sin2\beta$
Което означава един от два случая:
I) $\alpha = 2\beta$
$\Leftrightarrow 180 - 2\beta = 2\beta$
$\beta = 45°$
Което е частен случай на равнобедрен триъгълник.

II) $\alpha = 180° - 2\beta$
Което е в сила за всички равнобедрени триъгълници... и това е.

П. П. Според разултата от задачата, $\alpha$ е ъгълът срещу основата, а в твоите сметки си го сложил да е $\gamma$ (или $c$), което ти обърква сметките.

[peyo]

П. П. Според разултата от задачата, $\alpha$ е ъгълът срещу основата, а в твоите сметки си го сложил да е $\gamma$ (или $c$), което ти обърква сметките.

Ами да. Като сменя ъгъла и излиза:

In [152]: a = pi/2 ; b = pi/4 ; c = pi - (a+b)

In [153]: a,b,c, a+b+c
Out[153]: (pi/2, pi/4, pi/4, pi)

In [154]: sin(a)-2*sin(b)*cos(c)
Out[154]: 0