триъгълник

[Гост]

Лицето на АВС е 18 квадратни сантиметра. През върховете му А и С са прекарани височините АD и СЕ. Отсечката DE е 2√2 см, а лицето на BDE е 2 квадратни сантиметра. Да се намери радиусът R на описаната около АВС окръжност.

[S.B.]

Лицето на АВС е 18 квадратни сантиметра. През върховете му А и С са прекарани височините АD и СЕ. Отсечката DE е 2√2 см, а лицето на BDE е 2 квадратни сантиметра. Да се намери радиусът R на описаната около АВС окръжност.

Без заглавие (98).png (259.18 KiB) Прегледано 421 пъти

От [tex]AD\bot CB, CE\bot AB \Rightarrow AC[/tex] се вижда от дъгата $AC$ под ъгъл $90^\circ \Rightarrow т.D,т.E $ принадлежат на дъга от окръжност с диаметър $AC$
От $\triangle ADC \rightarrow \angle ACD = \gamma , \angle CAD = 90^\circ - \gamma = \frac{\widehat{CD}}{2}$
$\angle CED = \frac{\widehat{CD}}{2} \Rightarrow \angle CED = 90^\circ - \gamma,\Rightarrow \angle BED = \angle BEC - \angle CED = \gamma$
$\triangle ABC \approx \triangle BDE$ ( 1-ви признак)
$\frac{S_{ABC }}{S_{BDE }} = k^{2} \Leftrightarrow \frac{18}{2} = k^{2} \Leftrightarrow k^{2} = 9 \Rightarrow k = 3 \Rightarrow \frac{AC}{DE} = 3 \Leftrightarrow AC = 3.2\sqrt{2} \Rightarrow AC = 6\sqrt{2}$
$\triangle AED$ е вписан в окръжност с диаметър $AC$
Прилагам Синусова теорема :
$\frac{DE}{sin\angle DAE} = AC \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{sin(90^\circ - \alpha)} = 6\sqrt{2} \Rightarrow cos\alpha = \frac{1}{3},\Rightarrow sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
За $\triangle ABC \rightarrow \frac{AC}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow 6\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.2R \Rightarrow R = 4,5$