Решаване на триъгълник

[Гост]

За триъгълник е дадено [tex]а = 16[/tex], [tex]r = 6[/tex], [tex]R = 17[/tex]. Намерете другите две страни на триъгълника? Моля за решение

[Евва]

Получих 30 и 34 .
Греша ли ?

[Гост]

Не, може ли решение?

[Евва]

b=? c=?
S=pr и S=[tex]\frac{abc}{4R}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] pr=[tex]\frac{abc}{4R}[/tex] ; [tex]\frac{(16+b+c)6}{2}[/tex]=[tex]\frac{16bc}{4.17}[/tex] ...;816+51(b+c)=4bc |.16
13 056+816(b+c)=64bc (1)

[tex]\frac{a}{sin\alpha}[/tex]=2R т.е. 16=2.17sin[tex]\alpha[/tex] ; sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{8}{17}[/tex]
Лесно намираме cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{15}{17}[/tex] и ползваме cos T .
[tex]16^{2}[/tex]=[tex]b^{2}[/tex]+[tex]c^{2}[/tex]-2bc.cos[tex]\alpha[/tex]

Скрит текст: покажи

Изразът [tex]b^{2}[/tex]+[tex]c^{2}[/tex]не е много удобен и ще го представим като [tex](b+c)^{2}[/tex]-2bc .

256=[tex](b+c)^{2}[/tex]-2bc-2bc.[tex]\frac{15}{17}[/tex] |.17
4 352=17[tex](b+c)^{2}[/tex]-64bc (2)

Ще решим системата от (1) и (2) ур-е ,като положим b+c=x , bc=y .
[tex]\begin{array}{|l} (@)13 056 + 816x = 64y\\ 4 352-17x^{2}= -64y \end{array}[/tex] (събираме)

17 408+816x-17[tex]x^{2}[/tex]=0 ; 17[tex]x^{2}[/tex]-816x-17 408=0 ; единственият полож. корен е x=64 и от (@) намираме у=1 020
Търсим b,c връщаме се към полагането и остана да решим още една система .
[tex]\begin{array}{|l} b + c= 64 \\ bc = 1 020 \end{array}[/tex]

Скрит текст: покажи

Гост ,оставям ти удоволствието да завършиш решението .

Получих [tex]b_{1 }[/tex]=34 , [tex]b_{2 }[/tex]=30 и [tex]c_{1 }[/tex]=30 ,[tex]c_{2 }[/tex]=34 .

[Гост]

Благодаря много

[S.B.]

За триъгълник е дадено [tex]а = 16[/tex], [tex]r = 6[/tex], [tex]R = 17[/tex]. Намерете другите две страни на триъгълника? Моля за решение

Без заглавие - 2021-02-11T105544.979.png (224.77 KiB) Прегледано 639 пъти

И още един поглед върху задачата !
Прилагам синусова теорема :[tex]\frac{BC}{sin\alpha} = 2R \Leftrightarrow \frac{16}{sin\alpha} = 34 \Rightarrow sin\alpha = \frac{8}{17} , cos\alpha = \frac{15}{17}[/tex]
От $\triangle AOM \rightarrow \frac{AM}{MO} = cotg\frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow AM = MO.cotg \frac{\alpha}{2}\Leftrightarrow AM = r.cotg\frac{\alpha}{2} \Rightarrow AM = 6.cotg\frac{\alpha}{2}$

$cotg^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1 + cos\alpha}{2}}{\displaystyle\frac{1 - cos\alpha}{2}} = \displaystyle\frac{1 + \displaystyle \frac{15}{17}}{1 - \displaystyle\frac{15}{17}} = 16 $
$cotg^{2}\frac{\alpha}{2} = 16 \Rightarrow cotg\frac{\alpha}{2} = \pm 4 , \frac{\alpha}{2} < 90^\circ \Rightarrow cotg\frac{\alpha}{2} = 4$
$AM = 6.cotg\frac{\alpha}{2} = 24$
Тогава $AP = AM = 24$
$AB = 24 + x ,AC = 24 + 16 - x = 40 - x$
Прилагам Косинусова теорема:
$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 AB.AC.cos\alpha \Leftrightarrow 16^{2} = (24 + x)^{2} + (40 - x)^{2} - 2.(24 + x) (40 - x) . \frac{15}{17} \Leftrightarrow$
$1920 - 32x + 2x^{2} - 2.\frac{15}{17}(960 + 2.\frac{15}{17}(960 + 16x - x^{2}) = 0 \Leftrightarrow$
$ 2.(960 - 16x + x^{2}) - 2.\frac{15}{17}(960 + 16x - x^{2}) = 0 \Leftrightarrow (960 -16x + x^{2}) - \frac{15}{17}(960 + 16x - x^{2}) = 0$
Полагам:
$ - 16x + x^{2} = t \Rightarrow 16x - x^{2} = -t$ и получавам:
$(960 + t) - \frac{15}{17}(960 -t) = 0$
$17.960 + 17t - 15.960 + 15t = 0 \Leftrightarrow 2.960 + 32t = 0 \Leftrightarrow 960 + 16t = 0 \Rightarrow t = - 60$
Връщам субституцията :
$x^{2} - 16x = t \Leftrightarrow x^{2} - 16x = - 60 \Leftrightarrow x^{2} - 16x + 60 = 0, D = 16, x_{1,2 } = \frac{16 \pm 4}{2}$
$x_{1 } = 10 \Rightarrow AB = 24 + 10 = 34 ; AC = 40 - 10 = 30$
$x_{2 } = 6 \Leftrightarrow AB = 24 + 6 = 30 ; AC = 40 - 6 = 34$
Задачата има 2 решения:
$\triangle A_{1 }B_{1 }C_{1 }$ със страни $16, 30,34$
$\triangle A_{2 }B_{2 }C_{2 }$ със страни $16,34,30$