a:b:c=3:7:8; R:r=?

[Гост]

Ако отношението на страните на [tex]\triangle[/tex] е 3:7:8, то отношението на радиусите на описаната и вписаната окр. е?

[S.B.]

Ако отношението на страните на [tex]\triangle[/tex] е 3:7:8, то отношението на радиусите на описаната и вписаната окр. е?

Без заглавие - 2021-05-17T133908.742.png (175.44 KiB) Прегледано 392 пъти

[tex]a : b : c = 3 : 7 : 8 \Rightarrow a = BC = 3x , b = AC = 7x , c = AB = 8x[/tex]

Прилагам Косинусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]cos \gamma = \frac{ AB^{2} - BC^{2} - AC^{2} }{-2.AC.BC} \Leftrightarrow cos \gamma = \frac{64 x^{2} - 9 x^{2} - 49 x^{2} }{-2.3x.7x} \Rightarrow cos \gamma = \frac{6 x^{2} }{- 42 x^{2} } \Rightarrow cos \gamma = - \frac{1}{7}[/tex]
[tex]cos \gamma = - \frac{1}{7} \Rightarrow sin \gamma = \sqrt{1 - \frac{1}{49} }= \frac{4 \sqrt{3} }{7}[/tex]
Прилагам Синусова теорема:
[tex]\displaystyle\frac{AB}{sin \gamma } = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{8x}{ \displaystyle\frac{4 \sqrt{3} }{7} } = 2R \Leftrightarrow R = \displaystyle \frac{x}{\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{7} } \Rightarrow[/tex]
$$R = \frac{7x \sqrt{3} }{3} $$
[tex]p = \frac{3x + 7x + 8x}{2} \Rightarrow p = 9x[/tex]

[tex]S_{ABC } = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c} \Leftrightarrow S_{ABC} = \sqrt{9x.6x.2x.x} \Leftrightarrow S_{ABC } = \sqrt{ 3^{3}. 2^{2}. x^{4} } \Rightarrow S_{ABC } = 6 x^{2} \sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow S_{ABC } = 9x.r[/tex]
От [tex]\begin{cases} S_{ABC } = 6 x^{2} \sqrt{3} \\ S_{ABC } = 9xr\end{cases} \rightarrow 6 x^{2} \sqrt{3} = 9xr \Rightarrow[/tex]
$$r = \frac{2x \sqrt{3} }{3} $$
[tex]\displaystyle\frac{R}{r} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{7x \sqrt{3} }{3} }{\displaystyle \frac{2x \sqrt{3} }{3} } \Rightarrow \frac{R}{r} = \frac{7}{2}[/tex]
$$R:r = 7:2$$

[KOPMOPAH]

И още един поглед към задачата.
Ясно е, че страните са $3x$, $7x$ и $8x$.
Намираме лицето и радиуса на вписаната окръжност по начина, посочен от $S.B.$ $$S=6x^2\sqrt 3, ~~r=\frac {2x\sqrt 3}3 \Rightarrow x=r\frac {\sqrt 3}2$$За намиране радиуса на описаната окръжност използваме формулата $$S=\frac{abc}{4R}=\frac {168x^3}{4R}$$ $$\frac {168x^3}{4R}=6x^2\sqrt 3 \Rightarrow R=\frac {7x\sqrt 3}3, ~~x=R\frac {\sqrt 3}7$$От двата израза за $x$ получаваме$$r\frac {\sqrt 3}2=R\frac {\sqrt 3}7 \Rightarrow R:r=7:2$$

[Гост]

a-c.PNG (24.2 KiB) Прегледано 370 пъти