РAДИУС В ТРИЪГЪЛНИК

[Гост]

Равнобедрен [tex]\triangle ABC[/tex] с ъгъл при върха 30[tex]^\circ[/tex] има основа AB = 12 cm. Върху бедрото BC е взета точка D така, че [tex]\angle CAD : \angle DAB = 1 : 4.[/tex] Намерете радиуса на описаната около [tex]\triangle ABD[/tex] окръжност.

[Wiktor]

Ще приложа чертеж към решението си (никак не е добър, даже е ужасен... обаче го поднасям, с цел да придобиете представа горе-долу как действам).

[tex]\triangle ABC -[/tex] равнобедрен (по усл.) [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\angle CAB = \angle ABC[/tex]
[tex]AB = 12 cm[/tex]

Разгл. [tex]\triangle ABC[/tex]
Сбор от ъгли в триъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle CAB = \angle ABC = 75 ^\circ[/tex]

В условието ни е дадено, че [tex]\frac{ \angle CAD }{ \angle DAB } = \frac{1}{4}[/tex]. От това отношение [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle CAD = x; \angle DAB = 4x \Rightarrow \angle CAB = 5x[/tex]. Оттук ще намеря отношението [tex]\frac{ \angle CAB }{ \angle DAB} = \frac{5}{4}[/tex]. Знам мярката на [tex]\angle CAB[/tex], следователно откривам, че [tex]\angle DAB = 60 ^\circ[/tex].

Разгл. [tex]\triangle ABD[/tex]

Открих, че:
[tex]\angle DAB = 60 ^\circ; \angle ABD = 75 ^\circ \Rightarrow \angle ADB = \gamma = 45^\circ[/tex]

Имам и стойността на AB. Цялата тази информация е достатъчна, за да се приложи синусова теорема, а от нея да се намери радиуса на описаната около [tex]\triangle ABD[/tex].

[tex]\frac{AB}{sin \gamma } = 2R[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{12}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } = 2R \Rightarrow R = 6 \sqrt{2} cm.[/tex]

Весели празници!