Задача с правоъгълен триъгълник

[Гост]

Правоъгълен триъгълник ABC има прав ъгъл при върха C и катет BC = 15 см.
Височината, спусната през върха С пресича хипотенузата в точка Н. На колко сантиметра е равна дължината на медианата към хипотенузата , ако AH=16 см?
а) 12,5см б) 11,5см в) 12см г) 9см

Благодаря предварително!

[S.B.]

Правоъгълен триъгълник ABC има прав ъгъл при върха C и катет BC = 15 см.
Височината, спусната през върха С пресича хипотенузата в точка Н. На колко сантиметра е равна дължината на медианата към хипотенузата , ако AH=16 см?
а) 12,5см б) 11,5см в) 12см г) 9см

Благодаря предварително!

Без заглавие - 2022-02-25T210232.333.png (190.62 KiB) Прегледано 4634 пъти

Нека $HB = x > 0$
[tex]AH.HB = CH^{2 } \Leftrightarrow 16x = h^{2 }[/tex]
За [tex]\triangle CHB \rightarrow CB^{2 } = CH^{2 } + HB^{2 } \Leftrightarrow 15^{2 } = h^{2 } + x^{2 }[/tex]
Образувам системата:
[tex]\begin{array}{|l} 16x = h^{2 } \\ 15^{2 } = h^{2 } + x^{2 } \end{array} \Rightarrow x^{2 } + 16x = 225[/tex]
[tex]x^{2 } + 16x -225 = 0 ,D= 34^{2 } , x_{1 , 2} = \frac{-16 \pm 34}{2} ,x_{1 }= - 25 < 0 , x_{2 } = 9 > 0 \Rightarrow HB = 9[/tex]
[tex]AB = AH + HB = 16 + 9= 25[/tex]
[tex]m_{c } = \frac{AB}{2} \Leftrightarrow m_{c } = \frac{25}{2} \Rightarrow m_{c } = 12,5 cm[/tex]

[Гост]

AH.HB=[tex]CH^{2 }[/tex] само това не разбрах, някаква теорема ли е?

[S.B.]

AH.HB=[tex]CH^{2 }[/tex] само това не разбрах, някаква теорема ли е?

Без заглавие - 2022-02-26T124955.934.png (195.19 KiB) Прегледано 4605 пъти

$AB = c,AC = b,BC = a$ , [tex]AH = b_{1 } , BH = a_{1 }[/tex] ,където $AH$ и $BH$ са проекции на $AC$ и $BC$ върху $AB$

Да, това е теоремата, която се използва при доказателството на твърдението от древността,наречено "Питагорова теорема" и която се изучава непосредствено преди нея.

ТЕОРЕМА
В правоъгълен триъгълник:
а) всеки катет е средногеометричен на хипотенузата и проекцията му върху нея:
[tex]a^{2 } = a_{1 } .c[/tex]
[tex]b^{2 } = b_{1 } .c[/tex]
б)височината към хипотенузата е средногеометрична на проекциите на катетите върху хипотенузата
[tex]h^{2 } = a_{1 }. b_{1 }[/tex]