Вписана окръжност в произволен триъгълник

[yiendubu]

Окръжност В триъгълника ABC е вписана окръжност допираща се до AB, BC и AC съответно в точките M, D и N. Намерете MD,ако AN=2cm, NC=3cm и ъгъл ACB([tex]\gamma[/tex])= 60 градуса.

[mail_dinko]

Правим чертежа
Косинусова теорема
[tex](x+2)^2= 5^2+(x+3)^2 - 2. 5. (x+3) cos 60^\circ[/tex]
[tex]\cancel {x^2}+4 x + 4 = 25 + \cancel {x^2} + 6x +9 - 2.5. (x+3) . \frac 12[/tex]
[tex]0=30+2x-5x-15 \Rightarrow x=5[/tex]
[tex]\Rightarrow c=7; a=8;b=5[/tex]
Нова косинусова теорема:
[tex]b^2 = a^2+c^2 -2ac cos \angle B[/tex]
[tex]25=64+49-2.7.8 cos \angle B[/tex]
[tex]2.7.8 cos \angle B = 88 \Rightarrow cos \angle B = \frac{11}{14}[/tex]
[tex]MD^2 = 2.25-2.5.5. cos \angle B \Leftrightarrow MD^2 = 50 - \frac {25.11}{7} = \frac {350-275}{7} = \frac {75}{7}[/tex]
[tex]MD = \frac {5 \sqrt {21}}{7}[/tex]