Без Ойлер!

[S.B.]

Даден е триъгълник със страни $13,14,15$
Без да се използва формулата на Ойлер да се намери разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжности.

[nikola.topalov]

geogebra-export (31).png (98.27 KiB) Прегледано 1128 пъти

Разглеждаме [tex]\triangle ABC[/tex], за който [tex]AB=14[/tex], [tex]BC=13[/tex] и [tex]CA=15[/tex]. С [tex]I[/tex] и [tex]O[/tex] си означаваме центровете съответно на вписаната окръжност и на описаната окръжност. Използваме стандартните формули да намерим техните радиуси: [tex]S=pr[/tex] и [tex]R=\dfrac{abc}{4S}[/tex], откъдето [tex]r=4[/tex] и [tex]R=\dfrac{65}{8}[/tex]. Нека [tex]OE\perp AB[/tex] и [tex]ID\perp AB[/tex] ([tex]E,D\in AB[/tex]). Обособява се правоъгълният трапец [tex]EDIO[/tex], в който ще работим. Първо обаче пресмятаме [tex]AO=\dfrac{33}{8}[/tex] с питагорова теорема за [tex]\triangle AEO[/tex] и [tex]DB=6[/tex] по формулата [tex]DB=p-b[/tex]. Щом [tex]DB=6[/tex], то за [tex]ED[/tex] остава да бъде [tex]1[/tex] (защото [tex]EB=7[/tex]). Спускаме [tex]IF\perp OE[/tex] ([tex]F\in OE[/tex]) и намираме [tex]OF=\dfrac{1}{8}[/tex] и съответно [tex]IF=1[/tex]. И накрая с една питагорова теорема за [tex]\triangle FIO[/tex] намираме търсеното разстояние [tex]-[/tex] [tex]OI=\dfrac{\sqrt{65}}{8}[/tex].