Триъгълник

[Гост]

Моля някой да реши тази задача

В триъгълник с ъгъл 120° дължината на най-голямата страна е 7 см, а разликата на другите две е 2 см. Дължината на най-малката страна на триъгълника е

[mail_dinko]

Най-дългата страна съответства на най-големия ъгъл, в случая това е тъпият ъгъл 120 градуса
Останалите страни означаваме като а и b.
[tex]a-b=2\Rightarrow a=b+2[/tex]
Прилагаме косинусовата теорема
[tex]7^2=a^2+b^2-2ab .cos 120^\circ \Leftrightarrow 49=(b+2)^2+b^2+\cancel {2}(b+2)b \frac {1}{\cancel {2}}[/tex]
[tex]b^2+4b+4+b^2+b^2+2b -49 =0 \Leftrightarrow 3b^2+6b-45 =0 |:3 \Leftrightarrow b^2+2b-15=0[/tex]
[tex]D=1+15=4^2[/tex]
[tex]DM: b>0[/tex]
[tex]b = -1+4=3[/tex]
[tex]a=2+b = 2+3=5[/tex]

[Гост]

Косинусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] със страни: $AB = 7 , AC = x ,BC = x-2 $, [tex]\angle ACB = 1120 ^\circ[/tex]

[tex]AB^{2 } = AC^{2 } + BC^{2 } - 2.AC.BC\cos120 ^\circ[/tex]
[tex]7^{2 } = x^{2 } + (x - 2)^{2 } + 2 x(x - 2). \frac{1}{2}[/tex]
[tex]49 = x^{2 } + x^{2 } - 4x + 4 + x^{2 } - 2x[/tex]
[tex]3 x^{2 }- 6x - 45 = 0 \Leftrightarrow x^{2 } - 2x - 15 = 0, x_{1,2 } = \frac{2 \pm 8}{2} .....[/tex]