Разстояние от медицентър до страна

[Гост]

Добър вечер, може ли да помогнете с решението на тази задача:

В триъгълник АВС АВ=8 и ВС=12. От медицентъра на триъгълника са построени перпендикуляри към АВ и ВС, сборът от които е 5 см. Разстоянията от медицентъра до АВ и ВС са равни на:

[ptj]

Нека дължините на височините към [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex] са съответно [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]

[tex]8.x=AB.x=2.S_{ \triangle ABC}=BC.y=12.y \Rightarrow x:y=3:2[/tex]

Разстоянията от медицентъра до [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex] ще са съответно [tex]\frac{x}{3}[/tex] и [tex]\frac{y}{3}[/tex], заради свойството на медицентъра да дели всяка медиана в съотнощение 2:1 считано от върха.

Горния ред може да се докаже с Теорема на Талес, вектори, тригонометрични функции или подобни триъгълници.

Като съобразим , че [tex]\frac{x}{3}+ \frac{y}{3}=5[/tex], намираме [tex]\frac{x}{3}=3[/tex] и [tex]\frac{y}{3}=2[/tex].