Задача с произволен триъгълник

[Henz]

В триъгълника [tex]\Delta ABC[/tex]. CM и AN са медиани,които се пресичат в точка O.Ако лицето на[tex]\Delta ABC[/tex]. е 24 cm то лицето на[tex]\Delta AOC[/tex]. е =?

Наистина нямам идея.

[martin123456]

теорема: триъгълник ABC и M e на AB като AM:MB=m:n. Тогава [tex]\frac{S_{ACM}}{S_{BCM}}=\frac{m}{n}[/tex]

медианата се дели от медицентъра в отношение 2:1 считано от върха. значи [tex]\frac{S_{AOC}}{S_{AOM}}=\frac{2}{1}[/tex]. оттук [tex]\frac{S_{AOM}}{S_{AMC}}=\frac{2}{3}[/tex]. aналогично [tex]\frac{S_{AMC}}{S_{BCM}}=\frac{1}{1}=1[/tex] и значи [tex]\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}[/tex]. значи [tex]S_{AOC}=\frac{2}{3}\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}[/tex]

[Добромир Глухаров]

А може и така:

S_triangle.jpg (13.94 KiB) Прегледано 788 пъти

[tex]\Delta OO_1P[/tex] е подобен на [tex]\Delta BB_1P[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{BB_1}{OO_1 } =\frac{BP}{OP }=\frac{3}{1 }[/tex]
[tex]\frac{S_{\Delta AOC}}{S_{\Delta ABC} } =\frac{\frac{1}{2 }AC.OO_1 }{\frac{1}{2 }AC.BB_1 } =\frac{OO_1}{BB_1 } =\frac{1}{3 }[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{\Delta AOC}=\frac{S_{\Delta ABC}}{3 } =\frac{24}{3}=8\ cm^2[/tex]

[Henz]

теорема: триъгълник ABC и M e на AB като AM:MB=m:n. Тогава [tex]\frac{S_{ACM}}{S_{BCM}}=\frac{m}{n}[/tex]

медианата се дели от медицентъра в отношение 2:1 считано от върха. значи [tex]\frac{S_{AOC}}{S_{AOM}}=\frac{2}{1}[/tex]. оттук [tex]\frac{S_{AOM}}{S_{AMC}}=\frac{2}{3}[/tex]. aналогично [tex]\frac{S_{AMC}}{S_{BCM}}=\frac{1}{1}=1[/tex] и значи [tex]\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}[/tex]. значи [tex]S_{AOC}=\frac{2}{3}\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}[/tex]

martin123456 може ли по подробно да я обясниш.Не разбрах защо от AM:MB=m:n следва,че [tex]\frac{S_{ACM}}{S_{BCM}}=\frac{m}{n}[/tex].И нататък не ми е много ясна.

[martin123456]

двата триъгълника имат една и съща височина h. щом [tex]\frac{AM}{MB}=\frac{m}{n}[/tex], то съществува x, че AM=mx, BM=nx. значи [tex]S_{AMC}=\frac{mxh}{2}[/tex], [tex]S_{BMC}=\frac{nxh}{2}[/tex]. раздели ги

[Henz]

Откъде дойде тази височина h?Нали имаме медиана.

[Henz]

А може и така:

S_triangle.jpg

[tex]\Delta OO_1P[/tex] е подобен на [tex]\Delta BB_1P[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{BB_1}{OO_1 } =\frac{BP}{OP }=\frac{3}{1 }[/tex]
[tex]\frac{S_{\Delta AOC}}{S_{\Delta ABC} } =\frac{\frac{1}{2 }AC.OO_1 }{\frac{1}{2 }AC.BB_1 } =\frac{OO_1}{BB_1 } =\frac{1}{3 }[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{\Delta AOC}=\frac{S_{\Delta ABC}}{3 } =\frac{24}{3}=8\ cm^2[/tex]

Това решение го разбрах с изключение на откъде получихме [tex]\Rightarrow \frac{BB_1}{OO_1 } =\frac{BP}{OP }=\frac{3}{1 }[/tex].Защо 3 към 1?

[martin123456]

за височината просто я спускаме

[Добромир Глухаров]

Медицентърът [tex]O[/tex] дели медианата [tex]BP[/tex] в отношение [tex]2:1[/tex].
[tex]BO:OP=2:1 \Rightarrow BP:OP=(BO+OP):OP=BO:OP+OP:OP=2:1+1:1=(2+1):1=3:1[/tex]

[Henz]

Ясно разбрах я.Мерси и на двамата.