за 6 клас

[pipilota77]

Моля помогнете!
Точките М и N са съответно средите на страните АВ и AС на триъгълника АВС. Точката Р лежи на страната ВС, като СР=1/3ВС. Правите NP и СМ се пресичат в т.О.
а) Да се намери каква част от лицето на триъгълника АВС е лицето на триъгълника СОР.
б) Ако лицето на триъгълника АВС =90кв.см., да се намери колко кв.см е лицето на четириъгълника ВРОМ.

Моля за помощ на а) подточка.

[martin123456]

нещо има грешка в условието на които страни са M,N,P
да не е M на AB, N на AC, P на BC

[pipilota77]

Да, има грешка. т.N лежи на АС, сега го коригирах, извинявам се...

[martin123456]

използваме следната теорема: Ако M е на AB страната в триъгълник АBC и AM:MB=a, то S(AMC):S(BCM)

нека OP:ON=a => [tex]\frac{S_{NCP}}{S_{OCP}}=\frac{\frac{S}{6}}{S_{OCP}}=\frac{NO+OP}{OP}=1+\frac{NO}{OP}=\frac{a+1}{a}[/tex], защото от горната теорема [tex]S_{NCP}=\frac{1}{3}S_{NCB}=\frac{1}{6}S[/tex], където S е лицето на ABC. оттук получаваме, че [tex]S_{OCP}=\frac{Sa}{6(a+1)}[/tex], [tex]S_{NOC}=\frac{S}{6(a+1)}[/tex].

използвайки горната теорема трябва да имаме [tex]\frac{S_{OPM}}{S_{NOM}}=a[/tex]. намираме лицата им. [tex]S_{NMO}=\frac{S}{4}-\frac{S}{6(a+1)}=\frac{s}{6}\frac{3a+1}{2(a+1)}[/tex], понеже [tex]S_{NMO}=S_{NCM}-S_{NOC}[/tex] и [tex]S_{NMC}=\frac{1}{2}S_{AMC}=\frac{1}{4}S[/tex]
аналогично намираме [tex]S_{OPM}=\frac{S}{6}\frac{1}{a+1}[/tex]
разделяме тези 2 равенства и стигаме до уравнението
[tex]\frac{2}{3a+1}=a[/tex]. решаваме го и намирамв [tex]a=\frac{2}{3}[/tex]
=>[tex]S_{COP}=[tex]\frac{S}{15}[/tex]

[pipilota77]

Благодаря Мартине! Реших и друга, подобна задача по същия начин!