правоъгълен триъгълник и ъглополовяща

[what_is_that]

В правоъгълен триъгълник ABC C = 90
ъглополовящата
AL (L∈BC) дели височината
CD (D∈ AB) на отсечки CM = 5cm и MD = 4cm.
Намерете дължината на катета AC

Ще дадете ли малко ъкъл как ще стане

[loving_math]

В правоъгълен триъгълник ABC C = 90
ъглополовящата
AL (L∈BC) дели височината
CD (D∈ AB) на отсечки CM = 5cm и MD = 4cm.
Намерете дължината на катета AC

Ще дадете ли малко ъкъл как ще стане

ACL≈ADM
нека AD=a, AC=b
b/a=5/4 ; CL= 5cm от равнобедрен триъгълник MLC
4b=5a
b=5a/4
Питагорова теорема за ▲ADC
a^2 +81= 25a^2/16
16a^2+1296=25a^2
a^2=144
a=12 cm => AD=12 cm
AC=5a/4= 5.12/4=15 cm

[MMaster]

Ето подобна задача, но като че ли малко по-трудна.
Даден е правоъгълен триъгълник ▲[tex]ABC[/tex] с ъгъл [tex]\angle ACB=90^\circ[/tex] и ъглополявща [tex]CL=2\sqrt{2}[/tex] см. Ако [tex]BC=2a[/tex] см, то дължината на АС е ? Отг. [tex]\frac{2a}{a-1}[/tex] (ТУ-София, 2010)

[loving_math]

AC=x, AL=m, BL=n
От формулата за ъглополовящата имаме:
[tex](2\sqrt{2})^2=2a.x-m.n[/tex]
[tex]mn=2a.x-8[/tex]
2 поредни пъти косинусова теорема - един път за ▲LBC и още веднъж за ▲ALC

[tex]n^2=4a^2+8 -8a[/tex]

[tex]m^2=x^2 +8-4x[/tex]

Питагор за ▲ABC
[tex]x^2+4a^2=(m+n)^2[/tex]
[tex]x^2+4a^2=m^2+2mn+n^2[/tex]
[tex]x^2+4a^2=x^2+8-4x +2(2ax-8)+4a^2+8-8a[/tex]
[tex]8a=4ax-4x[/tex]
[tex]2a=ax-x[/tex]
[tex]2a=x(a-1)[/tex]
[tex]x=AC=\frac{2a}{ a-1}[/tex]

[MMaster]

Благодаря за решението!