Триъгълник и четириъгълник

[mona]

1 задача
Дадени са триъгълник и права,която не пресича страните му.Да се намери разстоянието от медицентъра на триъгълника до правата,ако разстоянието от върховете му до нея са 5см,10см,12см.

2 задача
Диагоналите на четириъгълник са 1 и 2.Да се намери лицето му,ако отсечките,които свързват средите на срещуположните му страни,са равни.


МЕРСИ!

[ptj]

Отговора на първата е : търсеното разстояние е средното аритметично на трите числа.
Дължи се на векторното равенство [tex]\vec{OG}=\frac{1}{3 }(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})[/tex].

Обяснението е елементарно със средствата на аналитичната геометрия (координати), но може да е трудно за разбиране от един ученик. Дължи се на факта, че ако са дадени два неколинеарни вектора [tex]\vec{e_1}[/tex] и [tex]\vec{e_2}[/tex], то всеки произволен вектор [tex]\vec{OM}[/tex] (в равнината определена от тях) се предстaвя по единствен начин във вида [tex]\vec{OM}=x.\vec{e_1}+y.\vec{e_2}[/tex].

Може да изберем [tex]|\vec{e_1}|=|\vec{e_2}|=1[/tex], като първия да е от правата (от условието), а втория от перпендикулярна на нея (например през единия връх). Тогава равенството [tex]\vec{OM}=x.\vec{e_1}+y.\vec{e_2}[/tex] задава правоъгълна координатана система с оси споменатите прави, където т. [tex]O[/tex] е нейното начало. В крайна сметка получаваме, че координатите на медицентъра са средно аритметично от координатите на върховете.

П.П. Съжалявам, но за момента не се сещам елементарно планиметрично доказателство.

[mona]

Нещо не го схванах....

[inveidar]

aaaa.jpg (19.54 KiB) Прегледано 1474 пъти

MH е средна основа в трапеца QLBC. Пресмяташ я лесно. След това разглеждаш трапеца PHMA. Вече знаеш основите му и остава да намериш отсечката GT, която е успоредна на основите и дели едното бедро в отношение 2:1. Това също е елементарно. Ако имаш неясноти по задачата - питай.

[inveidar]

П.П. Съжалявам, но за момента не се сещам елементарно планиметрично доказателство.

Ми намали яденето и пиенето!

[ptj]

П.П. Съжалявам, но за момента не се сещам елементарно планиметрично доказателство.

Ми намали яденето и пиенето!

Гледай собствената си камбанария. Не е лошо учениците от време да научават и нещо извън училищния материал, а не постоянно да им сервирате решения на принципа "умен бях - сетих се".

[ganka simeonova]

Гледай собствената си камбанария. Не е лошо учениците от време да научават и нещо извън училищния материал, а не постоянно да им сервирате решения на принципа "умен бях - сетих се".

Точно решешението на Емо е красиво и логично и естествено, а не е от типа " умен бях..."
Ти никога не се сещаш за красиво планиметрично доказателство, точно ти винаги пускаш ужасно отвлечени постове, с помиощта на програмки..
Или отвлечени понятия, които нямат нищо общо с познанията и усета на учениците от про- и гимназиален курс.
Инвейдър чудесно си гледа своята камбанария и си върши идеално работата. Ти си този, който не знае в многото случаи, за какво иде реч!
Прегледай си постовете, питижи!!!!
Весела Коледа и дано Бог ти даде повече разум!

[ptj]

Ганке,
Не сме всички като теб да се ограничаваме само с една планиметрия. Това, че за 20 години стаж си научила всички подобни задачи наизуст не е особено постижение. Разбирам да коментирате например постовете за подборния кръг от турските олимпиади, ама не. Правите се на големи разбирачи за детски задачки.

[ganka simeonova]

Питижи, нито аз, нито Инвейдър учим наизуст. И ако ти, не си разбрал красотата на планиматрията, а и на училищната математика, жалко за теб.
Всеки има свой усет за красота, независимо какви задачи и от коя Турска или Азиатска олимпиада се предлагат!
Идеята е, да се предложи тази красота в решение, което ти не правиш!
Весела Коледа!

[ganka simeonova]

П.П. Пак си прегледай постовете!

[martosss]

Зад. 2 Ще се опитам да се обоснова логично защо правя всяко нещо:
1. Пробвах да тръгна с вектори, както ptj направи в миналата задача, но в случая търсим лице, на четириъгълник, тоест ни трябва и ъгъл, който не можем да намерим с вектори, така че този подход няма да ни свърши работа.
2. Запитах се какво ни е дадено - в случая са ни дадени много среди - тоест може да използваме средна отсечка...
3. Свързвайки тези среди получаваме фигура, която има равни и успоредни срещуположни страни с дължини 1 и ½, откъдето тази фигура е успоредник.
4. Сега вече се чудя как да стигна до ъгъла... връщам се към даденото, понеже вече използвах средите и дадените числа 1 и 2...
5. Дадено е, че отсечките, свързващи средите на срещуположните страни, са равни. Тези отсечки се явяват диагонали на нашия успоредник => успоредникът е правоъгълник(не съм сигурен дали го има като теорема, но това може би ще се докаже с еднакви триъгълници).
6. Сега очевидно

(просто се вижда... това не знам как да го опиша... но мога да пробвам... ако хванем всеки край на четириъгълника и го сгънем, така че да се опитаме да го залепим за центъра на четириъгълника, имам чувството, че ще получим точно дадения правоъгълник... ако не можете да ме разберете съжалявам ... приемам, че дотук на ученика му е ясно, че трябва да намери лицето на правоъгънлика и да изрази чрез него лицето на четириъгълника)

лицето на този правоъгълник е половината от лицето на търсения четириъгълник... и в момента се пуля в чертежа и се опитвам да го докажа по някакъв начин...
Ще попитате как се опитвам да го докажа... Ами започнах като изследвам едната половина от четириъгълника...

Каквото и да е доказателството.. на този етап аз си мисля, че лицето на КМРТ е 1/2, откъдето лицето на целия четириъгълник е 1(звучи логично .. цяло число...). Ако беше тест, в този момент аз бих имал отговор - 1.

Остава да докажем, че тези триъгълничета АКТ, КВМ, МСР, РДТ имат общо лице, равно на правоъгълника КМРТ.

За момента наистина не се сещам как да докажа последното - че лицето на КМРТ е половината от лицето на търсения АВСД...

Но се надявам този опит за решение да е имал образователен характер за читателя, тоест да покаже как трябва да се действа когато се сблъскаш с една подобна задача(поне според мен, може би има и друг, по-добър начин).
Успех и весели празници!


П.П. И ето, че след като погледнах чертежа за още 5-10 мин се сетих как да се докаже последното нещо.
...
7. Разглеждам всяко малко триъгълниче поотделно.
Започваме от ВМК, който е ¼ от триъгълник АВС. Това е така, понеже КМ е половината от АС и височината на КМ е половината от висчоината на АВС
Аналогично горното триъгълниче ТРД е 1/4 от АСД
Така получаваме, че сборът на двете триъгълничета е 1/4 от лицето на четириъгълника.
Аналогично и за другите две триъгълничета доказваме, че са 1/4 от лицето на четириъгълника
Така сборът на четирите е 1/4S+1/4S=S/2.

Това го видях като гледах не целия чертеж, а само половината, примерно АВМТ, или КМР, или АВС... в крайна сметка се опитах да изразя малките триъгълничета като част от големите половинки... и нещата станаха!

[strangerforever]

martosss, правиш нещата да изглеждат в пъти по-сложни, отколкото са.

Нека средите са M, N, P и Q. Елементарно (със средни отсечки) се доказва, че MNPQ е успоредник със страни два пъти по-малки от диагоналите на четириъгълника и с ъгли, равни на ъглите, образувани при пресичането на диагоналите на четириъгълника.

MNPQ е успоредник с равни диагонали => правоъгълник.

Тогава лицето на четириъгълника е [tex]\frac{2.1.sin90^\circ}{2} = 1[/tex]

[martosss]

Просто искам до покажа как аз стигам до решението....

MNPQ е успоредник с равни диагонали => правоъгълник.

Тогава лицето на четириъгълника е [tex]\frac{2.1.sin90^\circ}{2} = 1[/tex]

Да, щеше да е добре да обясниш как стигаш до тази формула, но след малко мислене се вижда - успоредните страни дават равни ъгли и ъгълът между диагоналите става 90° - нещо, което не бях видял когато написах решението.

[strangerforever]

Просто искам до покажа как аз стигам до решението....

MNPQ е успоредник с равни диагонали => правоъгълник.

Тогава лицето на четириъгълника е [tex]\frac{2.1.sin90^\circ}{2} = 1[/tex]

Да, щеше да е добре да обясниш как стигаш до тази формула, но след малко мислене се вижда - успоредните страни дават равни ъгли и ъгълът между диагоналите става 90° - нещо, което не бях видял когато написах решението.

Кое не съм обяснил?

[martosss]

как точно лицето на четириъгълника става еди какво си... в началото не загрях за правия ъгъл как го намираш... няма значение... решихме задачата в крайна сметка.

[Xixibg]

Само да вмъкна ,че авторът на поста май е 8-ми клас и не знае тази формула за лице (не са учили още тригонометрия).Затова мисля че е по удачно:
[tex]AC \cap BD=O ; \angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOA=90^\circ[/tex]
[tex]=>S=\frac{AC.BD}{2}[/tex]