Равнобедрен триъгълник

[Consigliere-]

Пак проблем с 1 задача.Моля за решение
В равнобедрен остроъгълен [tex]\Delta ABC(AC=BC)[/tex] отношението на радиуса на вписаната окръжност към радиуса на описаната окръжност е [tex]3:8[/tex] . Да се намери косинусът на [tex]\angle ABC[/tex]

[Consigliere-]

Толкова много изразявания ,толкова много неизвестни,че се обърках ..

[Xixibg]

Не е чак толкова сложно......

[ganka simeonova]

Ако ъгъла при основата означим с [tex]\alpha[/tex], петата на височината към основата АВ с Н,основата с с, а центъра на вписаната окр. с I=>
(1)[tex]\Delta AHI=>tg{\frac{\alpha }{ 2} }=\frac{2r}{ c}[/tex]
(2)[tex]SIN. TH \Delta
ABC=>c=2Rsin2\alpha[/tex]

(1)+(2)=>[tex]\frac{r}{R } =\frac{3}{8 } =tg{\frac{\alpha }{ 2} }.sin2\alpha[/tex]

[tex]\frac{3}{ 8} =\sqrt{\frac{1-cos\alpha }{ 1+cos\alpha } } .(2sin\alpha .cos\alpha )[/tex]. Повдигаме на квадрат=>
[tex]\frac{9}{ 64} =\frac{1-cos\alpha }{ 1+cos\alpha } .4.cos^2\alpha (1-cos^2\alpha )[/tex]..
[tex]\frac{9}{ 256} =cos^2\alpha (1-cos\alpha )^2[/tex]

Коренувай, после можеш и сам:)

[Xixibg]

Ето едно малко по-тежко решение и от мен

[tex]AC=BC=2Rsin\alpha ; AB=2Rsin(180^\circ -2\alpha)=2Rsin2\alpha=4Rsin\alpha .cos\alpha[/tex] (Синусова теорема)
[tex]p=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)=R(2sin\alpha+2sin\alpha.cos\alpha)=2R.sin\alpha(1+cos\alpha)[/tex]
[tex]r=\frac{3}{8}R[/tex]
[tex]S=p.r=\frac{abc}{4R} ; =>\frac{3}{4}R^2.sin\alpha(1+cos\alpha)=\frac{4Rsin\alpha .cos\alpha.2Rsin\alpha.2Rsin\alpha}{4R}[/tex]
[tex]=>\frac{3}{4}\cancel{R^2.sin\alpha}(1+cos\alpha)=4\cancel{R^2.sin\alpha}.cos\alpha.sin^2\alpha[/tex]
[tex]=>\frac{3}{4}\cancel{(1+cos\alpha)}=4cos\alpha(1-cos\alpha)\cancel{(1+cos\alpha)}[/tex]
[tex]cos\alpha=x ; =>4x^2-4x+\frac{3}{4}=0[/tex]
[tex]x_1=\frac{3}{4} ; x_2=\frac{1}{4}[/tex]

[Consigliere-]

Благодаря ви

[bieber4eto7]

Моля да ми я решите до утре в 13:00ч Моля Ви много ми е важно!! Благодаря предварително
Даден е равнобедрен триъгълник ABC, като един от външните му ъгли е 70 градуса. Намерете ъглите на триъгълника ABC.