една задача

[Гост]

Малко помощ?
Разстоянията от центъра на вписаната в ▲ABC окръжност до върховете A и B са равни съответно на √7 и √21 и ъгъл ACB=120° Да се намерят дължините на ▲ABC

[s.karakoleva]

Нека M, N, P са допирните точки на вписаната окръжност съответно до AB, BC, AC. [tex]\angle MOP=180^\circ-\alpha, \quad \angle NOM=180^\circ-\beta, \quad \angle PON=60^\circ\Rightarrow 180^\circ-\alpha+180^\circ-\beta+60^\circ=360^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \alpha+\beta=60^\circ.[/tex]

[tex]\angle AOB=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=150^\circ[/tex]

От Косинусова теорема за [tex]\triangle ABO\Rightarrow AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos 150^\circ=7+21+2\sqrt7\sqrt{21}\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow AB=7.[/tex]

От Синусова теорема за [tex]\triangle ABO\Rightarrow \frac{AO}{\sin(30^\circ-\frac{\alpha}{2})}=\frac{BO}{\sin\frac{\alpha}{2}} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{7}}{\frac12\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\Rightarrow tg\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{3}}{5}\Rightarrow \sin\alpha=\frac{2tg\,\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}=\frac{5\sqrt3}{14}.[/tex]


От Синусова теорема за [tex]\triangle ABC\Rightarrow
\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{AB}{\sin 120^\circ}\Rightarrow a=5.[/tex]
От Косинусова теорема за [tex]\triangle ABC\Rightarrow a^2+b^2-2ab\cos 120^\circ=AB^2[/tex] и [tex]a=5[/tex] се получава квадратно уравнение [tex]b^2+5b-24=0\Rightarrow b=3.[/tex]