Метрични зависимости в окръжност за 9ти клас

[Xixibg]

Дадена е окръжност [tex]k[/tex] с диаметър [tex]AB=2R[/tex].През точка [tex]A[/tex] е построена права [tex]t[/tex] допирателна към [tex]k[/tex].Точка [tex]M[/tex] е такава ,че [tex]M\in t ; AM>R[/tex].През точка [tex]M[/tex] е построена допирателна към [tex]k[/tex], която пресича продължението на [tex]AB[/tex] в точка [tex]P[/tex].Да се намери [tex]S_{AMP}[/tex] , ако [tex]P_{AMP}=8R[/tex]

[strangerforever]

viewtopic.php?p=7562#p7562

[Xixibg]

Малко тежко е решението на Мартин.Има доста сметки.Задачата наистина е от група В на споменатия сборник на К.Коларов .Ето и моето решение на 5-6 реда .

[tex]\triangle APM \approx \triangle OPT ; =>\frac{P_{OPT}}{P_{APM}}=\frac{r}{x}[/tex]

[tex]P_{OPT}=P_{APM}-2x=8r-2x[/tex]

[tex]=>\frac{8r-2x}{8r}=\frac{r}{x} ; =>2x^2-8rx+8r^2=0 ; =>2(x-2r)^2=0 ; =>x=2r[/tex]

[tex]\frac{OP}{PM}=\frac{r}{x} ; =>\frac{BP+r}{PT+2r}=\frac{1}{2} ; =>2BP+2r=PT+2r ; =>PT=2BP[/tex]

[tex]=>PT+BP=P_{ABP}-2r-2x=8r-2r-4r=2r ; =>3BP=2r ; =>BP=\frac{2r}{3} ; =>PT=\frac{4r}{3}[/tex]