Окръжност

[andromaha_7]

Окръжност с радиус R минава през върха C на равнобедрен триъгълник ABC, през средата на бедрото BC и се допира до основата AB в точка A. Да се намери бедрото.

Благодаря предварително!

[Гост]

[tex]R[/tex]

[Xixibg]

[tex]k\cap BC=M[/tex]
[tex]\angle ABC=\angle BAC=\alpha ;\angle ACB=180^\circ -2\alpha ;AC=BC=2x ; =>BM=CM=x[/tex]
[tex]AB^2=BM.BC=2x^2 ; =>AB=x\sqrt{2}[/tex]
[tex]\triangle ABC \approx[/tex] по 2-ри признак
[tex]1.\frac{BM}{AB}=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]2.\angle ABC[/tex] общ
[tex]=>\triangle ABM[/tex] е равнобедрен
[tex]=>AM=AB=x\sqrt{2} ; \angle AMB=\angle BAC=\alpha[/tex]
[tex]=>\angle AMC=180^\circ -\alpha[/tex]
[tex]\frac{AB}{sin {180^\circ -2\alpha}}=\frac{BC}{sin \alpha}[/tex] (Синусова теорема)
[tex]=>\frac{sin {(180^\circ -2\alpha})}{sin \alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]=>\frac{sin {2\alpha}}{sin \alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]=>\frac{2\cancel{sin \alpha}.cos \alpha} {\cancel{sin \alpha}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]=>cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4} ; =>sin \alpha =\frac{\sqrt{14}}{4}[/tex]
[tex]AC=2R.sin {(180^\circ -\alpha)}=2R.sin \alpha =\frac{R\sqrt{14}}{2}[/tex](Синусова теорема)

[Гост]

За съжаление си сбъркал, защото [tex]R[/tex] не е радиус на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.

[Гост]

Нека [tex]BP=PC=\frac{b}{2}, \quad \angle ABC = \alpha, \quad \angle ACB = \gamma \Rightarrow \angle AOP=2\gamma[/tex], [tex]O-[/tex] център на окръжността.

[tex]BA^2=BC \cdot BP \Rightarrow AB = \frac{b}{\sqrt{2}}[/tex].

[tex]AP^2=AB^2+BP^2-2 \cdot AB \cdot BP \cdot \cos \alpha \Rightarrow AP = \frac{b}{\sqrt{2}}[/tex]

[tex]AP^2=OA^2+OP^2-2 \cdot OA \cdot OP \cdot \cos 2 \gamma, \quad \cos2\gamma=\frac{3}{4} \Rightarrow b=R[/tex]

[Xixibg]

За съжаление си сбъркал, защото [tex]R[/tex] не е радиус на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.

Мислиш ли?

[Xixibg]

Преди да критикуваш ми кажи ,от къде ти хрумна,че
[tex]cos {2\gamma }=\frac{3}{4} ??[/tex]
Само ще спомена ,че не е толкова.
Коментарът ти е неточен защото изобщо не си прочел решението ми.Прочети го по-внимателно и ще го разбереш.Ще разбереш и къде бъркаш.....

[Гост]

Да, Хихи, прав си, грешка при преписването. [tex]\cos2\gamma=\frac{1}{8}[/tex].

[Xixibg]

Да, Хихи, прав си, грешка при преписването. [tex]\cos2\gamma=\frac{1}{8}[/tex].

И толкова не е.

[Гост]

А колко е тогава?

[tex]2\alpha+\gamma=180^\circ \Rightarrow \gamma=180^\circ-2\alpha \Rightarrow \sin\gamma = \sin 2\alpha[/tex]

[tex]\cos2\gamma=\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma = 1 - 2 \sin^2 \gamma = 1 - 2 sin^2 2\alpha = 1 - 2 \cdot 4 \sin^2\alpha \cos^2 \alpha[/tex]

[tex]\cos 2\gamma = 1 - 8 \cdot \frac{14}{16} \cdot \frac{2}{16} = 1 -\frac{14}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}[/tex]

[Xixibg]

А колко е тогава?

[tex]2\alpha+\gamma=180^\circ \Rightarrow \gamma=180^\circ-2\alpha \Rightarrow \sin\gamma = \sin 2\alpha[/tex]

[tex]\cos2\gamma=\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma = 1 - 2 \sin^2 \gamma = 1 - 2 sin^2 2\alpha = 1 - 2 \cdot 4 \sin^2\alpha \cos^2 \alpha[/tex]

[tex]\cos 2\gamma = 1 - 8 \cdot \frac{14}{16} \cdot \frac{2}{16} = 1 -\frac{14}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}[/tex]

[tex]\cos 2\gamma =-\frac{3}{4}[/tex]

[Гост]

Айде да ми го сметнеш ред по ред, искаш ли?

[Xixibg]

Съжалявам................през цялото време си мисля за [tex]cos {2\alpha }=-\frac{3}{4}[/tex]
[tex]cos {2\gamma }[/tex] си е [tex]\frac{1}{8}[/tex]