Външно вписана окръжност

[ronito01]

1.Страните на ▲ ABC са AB=17 cm, BC=13cm и AC=14cm. Външно вписаната окръжност се допира до страната AC в точка F. Намерете дължините на отсечките AF и CF.
2.Медианата в равностранен триъгълник е 12cm. Намерете радиуса на външно вписаната окръжност.
3.Радиусът на вътрешно вписаната в равностранен триъгълник окръжност е 4 cm. Намерете радиуса на външно вписаната окръжност.
4.Сборът от радиусите на вътрешно вписаната и на външно вписаната за равностранния триъгълник окръжности е 16 cm. Намерете радиуса на вътрешно вписаната окръжност.
5.Сборът от радиусите на описаната и на външно вписаната за равностранния триъгълник окръжности е 30 cm. Намерете радиуса на вътрешно вписаната окръжност.

Благодаря.

[Anubis]

Това е по зад. 1. Означенията са на рисунката. Ще разгледаме само един случай, защото останалите са

аналогични.

[tex]\angle AO_{2}N = \frac{\alpha}{2}, \quad O_{2}N=\operatorname{r}_{b} \Rightarrow \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{AN}{\operatorname{r}_{b}} \Rightarrow AN = \operatorname{r}_{b} \tan \frac{\alpha}{2}[/tex]

[tex]\angle CO_{2}N = \frac{\gamma}{2}, \quad O_{2}N=\operatorname{r}_{b} \Rightarrow \tan \frac{\gamma}{2} = \frac{CN}{\operatorname{r}_{b}} \Rightarrow CN = \operatorname{r}_{b} \tan \frac{\gamma}{2}[/tex]

[tex]AN+CN=AC \Rightarrow \operatorname{r}_{b} \left ( \tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} \right ) = 14[/tex]

Оттук намираш [tex]\operatorname{r}_{b}[/tex]. За другите два радиуса е същото. На рисунката равните ъгли съм ги оцветил в един и

същи цвят, за да се виждат по-лесно.

[Anubis]

За зад. 4 ще използваме резултата от предишната задача.

Понеже в равностранния триъгълник [tex]\alpha = \gamma = 60^\circ[/tex], то [tex]\tan \frac{\alpha}{2} = \tan \frac{\gamma}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex].

С [tex]\operatorname{r}_{0}[/tex] означаваме радиуса на външновписаната окръжност, а с [tex]b[/tex] — страната на триъгълника.

[tex]2 \operatorname{r}_{0} \tan 30^\circ = b \Rightarrow 2 \operatorname{r}_{0} \frac{1}{\sqrt{3}} = b \Rightarrow \operatorname{r}_{0} = \frac{b \sqrt{3}}{2}[/tex]

Радиусът на вписаната в равностранния триъгълник окръжност е [tex]\operatorname{r} = \frac{b \sqrt{3}}{6}[/tex].

[tex]\Rightarrow \operatorname{r}_{0} + \operatorname{r} = 16 \Rightarrow \frac{b \sqrt{3}}{2} + \frac{b \sqrt{3}}{6} = 16 \Rightarrow b = \frac{24}{\sqrt{3}} \Rightarrow \operatorname{r}_{0} = 12, \quad \operatorname{r} = 4[/tex]