Геометрична задача

[didi_879]

Отсечката [tex]CH[/tex] е височина в триъгълника [tex]ABC[/tex] и [tex]CM,CN[/tex] са ъглополовящи съответно на [tex]\angle ACH[/tex] и [tex]\angle BCH[/tex]. Известно е, че центърът на описаната около [tex]\Delta CMN[/tex] окръжност съвпада с центъра на вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност. Докажете, че [tex]\angle ACB = 90^\circ[/tex].

[didi_879]

Някой?

[math10.com]

pravoygalen_triygalnik.png (50.51 KiB) Прегледано 524 пъти

Нека [tex]\angle BAC=2\alpha[/tex] и [tex]\angle ABC=2\beta[/tex].Точка [tex]O[/tex] е центъра на вписаната окръжност в [tex]\triangle ABC[/tex] ,която по условие съвпада с центъра на описаната около [tex]\triangle MNC[/tex] окръжност
[tex]\triangle ANC[/tex] е равнобедрен [tex]AC=AN[/tex]([tex]AO[/tex] е симетрала на [tex]NC[/tex]) ,следователно [tex]\angle ANC=\angle ACN=90^\circ -\alpha[/tex]
[tex]CN[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle BCH[/tex] по условие, следователно [tex]\angle BCN=45^\circ -\beta[/tex] следователно [tex]\angle ACB=45-\beta +90-\alpha =135-(\alpha+\beta )[/tex]
Но [tex]\angle ACB=180-2(\alpha+\beta )[/tex] (от [tex]\triangle ABC[/tex] ),от където получаваме [tex]\alpha+\beta=45^\circ[/tex] или [tex]\angle ACB=135-(\alpha+\beta )=135^\circ -45^\circ =90^\circ[/tex]

[monika_at]

[tex]\triangle ANC[/tex] е равнобедрен [tex]AC=AN[/tex]([tex]AO[/tex] е симетрала на [tex]NC[/tex])

С това не съм съгласна.

[math10.com]

pravoygalen_triygalnik1.png (33.42 KiB) Прегледано 518 пъти

След като не харесаха нещо в решението ,за което като се замисля има основание ето обяснение:

Нека [tex]\angle BAC=2\alpha[/tex] и [tex]\angle ABC=2\beta[/tex].Точка [tex]O[/tex] е центъра на вписаната окръжност в [tex]\triangle ABC[/tex] ,която по условие съвпада с центъра на описаната около [tex]\triangle MNC[/tex] окръжност
[tex]\triangle AC_1O,\triangle AB_1O[/tex] са еднакви по 2-ри признак ,следователно [tex]AB_1=AC_1[/tex] като СЕЕТ
или [tex]AB_1=AC_1[/tex] като допирателни към окръжност с обща точка
[tex]\triangle OB_1C,\triangle NC_1C[/tex] са еднакви по 4-ти признак ,следователно [tex]CB_1=NC_1[/tex] като СЕЕТ
където [tex]OB_1, OC_1[/tex] са радиуси на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност
следователно [tex]AN=AC[/tex] и [tex]\triangle ANC[/tex] е равнобедрен
следователно [tex]\angle ANC=\angle ACN=90^\circ -\alpha[/tex]
[tex]CN[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle BCH[/tex] по условие, следователно [tex]\angle BCN=45^\circ -\beta[/tex] следователно [tex]\angle ACB=45-\beta +90-\alpha =135-(\alpha+\beta )[/tex]
Но [tex]\angle ACB=180-2(\alpha+\beta )[/tex] (от [tex]\triangle ABC[/tex] ),от където получаваме [tex]\alpha+\beta=45^\circ[/tex] или [tex]\angle ACB=135-(\alpha+\beta )=135^\circ -45^\circ =90^\circ[/tex][/quote]

[didi_879]

Благодаря! Последно за тази може ли помощ
Окръжностите [tex]k_{1}[/tex] и [tex]k_{2}[/tex] се допират вътрешно до окръжността [tex]k[/tex] съответно в точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex]. Вътрешната допирателна [tex]t[/tex] на [tex]k_{1}[/tex] и [tex]k_{2}[/tex] се допира до [tex]k_{1}[/tex] и [tex]k_{2}[/tex] съответно в точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex]. Правите [tex]MP[/tex] и [tex]NQ[/tex] пресичат [tex]k[/tex] в точките [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex]. Докажете, че [tex]t\bot AB[/tex]

[inveidar]

zada.png (34.4 KiB) Прегледано 482 пъти

[tex]OA||O_1P||O_2Q||OB[/tex], откъдето следва, че [tex]O,A[/tex] и [tex]B[/tex] лежат на една права и [tex]AB\bot PQ[/tex], защото [tex]O_1P\bot PQ[/tex]([tex]PQ[/tex] е допирателна).