9 клас

[zvezdichka123]

Дължините на основата и бедрото на равнобедрен триъгълник са съответно 2 см и 7 см. Докажете, че височината към основата е 4 пъти по-голяма от диаметъра на вписаната окръжност

[Knowledge Greedy]

Триъгълникът [tex]\Delta ABC[/tex] е равнобедрен, значи височината му [tex]CD[/tex]към основата е и медиана. Следователно е [tex]AD=1[/tex] см.
Триъгълникът [tex]\Delta ABC[/tex] е равнобедрен, значи височината му [tex]CD[/tex] към основата е и ъглополовяща.
Следователно центърът [tex]I[/tex] на вписаната в триъгълника окръжност лежи на [tex]CD[/tex].
Центърът [tex]I[/tex] на вписаната в триъгълника окръжност лежи на всяка от ъглополовящите, значи и на ъглополовящата през [tex]A[/tex].
Прилагаме свойството на ъглополовящата [tex]AI[/tex] на [tex]\Delta ADC[/tex].
[tex]\frac{AC}{AD }=\frac{CI}{ID }[/tex]
По условие [tex]AC=7[/tex] см, а по-горе получихме, че [tex]AD=1[/tex] см. Следователно [tex]\frac{CI}{ID }=\frac{7}{ 1}[/tex]. Тази пропорция ни дава основание да означим частите [tex]CI[/tex] и [tex]DI[/tex] на височината така:
[tex]CI=7x[/tex] и [tex]ID=x[/tex]. Значи цялата височина е [tex]CD=8x[/tex].
Да погледнем отново в [tex]\Delta ABC[/tex] . Отсечката [tex]ID[/tex] е точно радиусът на вписаната в триъгълника окръжност, а диаметърът и ще е [tex]2x[/tex]. Следователно височината към основата е [tex]8x:(2x)=4[/tex]пъти по-голяма от диаметъра на вписаната окръжност.

равнобедрен и вписана.PNG (4.09 KiB) Прегледано 949 пъти