Окръжност

[berito]

даден е ромбът ABCD с <BAD=40. В полуравнината, определена от правата CD, несъдържаща точка A, е взета точка P такава, че <DCP=10 и <APC=70. Намерете мярката на <PBD.

[monika_at]

Кой клас си?

[berito]

8 клас

[monika_at]

Ще я помисля, но не ми се струва, че е лека задача.

Готово. Отг. е 30 градуса, но ще изчакаш да направя решение с чертеж. Симпатична задачка;)

[monika_at]

b30.png (42.34 KiB) Прегледано 530 пъти

Следвай означенията на чертежа.
От условието=>[tex]\angle ADC=140^\circ ; \angle APC=70^\circ ; \angle PAC=80^\circ =>\angle PAD=60^\circ[/tex]
Означаваме също така [tex]\angle PBD=x=>\angle ABP=70^\circ -x[/tex]
Описваме окръжност около [tex]\Delta PAC[/tex]
Тъй като [tex]DB[/tex] се явява симетрала за хордата [tex]AC[/tex], защото в ромб кой да е диагонал е симетрала за другия, то центърът на тази окръжност ще лежи върху правата [tex]DB[/tex]
[tex]\angle APC=70^\circ[/tex]. Той е вписан ъгъл и отсича дъгата [tex]AC[/tex]; [tex]\angle ADC=140^\circ =2\angle APC[/tex] и понеже върхът му точка [tex]D[/tex] лежи на правата върху която е центърът на окръжността=>[tex]D[/tex] е този център. (никой друг ъгъл с краища А и С и връх върху [tex]BD[/tex], който отсича дъгата [tex]AC[/tex] няма да е два пъти по-голям от съответния вписан ъгъл.

=>[tex]DA=DC=DP=>\angle DPC=10^\circ (\Delta PDC[/tex]-равнобедрен)=>[tex]\angle APD=60^\circ[/tex]

[tex]\Delta PAD[/tex]-равностранен (равнобедрен с ъгъл от 60 градуса)=>[tex]AP=AD=AB=>\Delta PAB[/tex]-равнобедрен=>
[tex]\angle BPA=70^\circ -x[/tex]
Образуваме сбора на ъглите в [tex]\Delta BPA[/tex]:
[tex]70^\circ -x+70^\circ -x+100^\circ =180^\circ =>x=30^\circ[/tex]

[berito]

Благодаря ви много