Окръжност, вписана в правоъгълен триъгълник

[Vorp]

Здравейте!

Някой има ли някаква идея как би могла да се реши следната задача :

"В правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза AB = 13 точката O е център на вписаната окръжност и CO = 2[tex]\sqrt{2}[/tex]. Да се намерят дължините на катетите AC и BC."

Опитах да направя система от формулата за радиус на вписаната окржъност и подобие на 2 триъглника, но без успех.

Благодаря ви предварително

[monika_at]

Построй радиуса ОР към АС. Тогава от равнобедрения правоъгълен [tex]\Delta CPO=>r=2[/tex]

[tex]r=\frac{a+b-c}{2}=>a+b=17; a^2+b^2=169[/tex]

[math10.com]

Използваме основна задача от 8-ми клас "Радиуса на вписаната в правоъгълен триъгълник окръжност е [tex]r=p-c[/tex]".От друга страна [tex]CO[/tex] е диагонал на квадрат със страна [tex]r[/tex] , от където намираме [tex]r=\frac{CO}{\sqrt{2}}=2[/tex] , от където [tex]p-13=2 \Rightarrow p=15 \Rightarrow P=30 \Rightarrow a+b=17[/tex].Сега една Питагорова теорема и решаваме системата:
[tex]\begin{array}{|l} a + b = 17 \\ a^2 +b^2 =169 \end {array} \Rightarrow a=5 ; b=12[/tex] или [tex]a=12;b=5[/tex]